Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 4: Hình bình hành - Hình thoi

1. Hình bình hành

Thực hành 1: Cho hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Hướng dẫn trả lời:

Các đoạn thẳng bằng nhau: IS = IQ, IP = R, SP = QR, SR = PQ

Các góc bằng nhau: $\widehat{PSR}=\widehat{PQR}; \widehat{SPQ}=\widehat{SRQ}, \widehat{SPR}=\widehat{PRQ}, \widehat{PSQ}=\widehat{SQR}$

Vận dụng 1: Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử mắt lưới của lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và độ dài hai cạnh là 4 cm, 5 cm.

Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song nên là hình bình hành. Giả sử AB = 4 cm, AD = 5 cm.

Do đó CD = AB = 4 cm; BC = AD = 5 cm.

Vận dụng 2: Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Hướng dẫn trả lời:

EFGH là hình bình hành suy ra HG = EF = 40 m

EG = 2EM = 2 x 36 = 72 (m)

HF = 2HM = 2 x 16 =32 (m)

Thực hành 2: Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành?

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác ABCD có: AB = CD, BC = AD suy ra ABCD là hình bình hành

b) Tứ giác EFGH có: $\hat{E}=\hat{G},\hat{F}=\hat{H}$ suy ra EFGH là hình bình hành

c) $\widehat{IJK}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

$\hat{I}=360^{o}-(120^{o}+60^{o}+120^{o})=60^{o}$

Tứ giác IJKL có:$\hat{I}=\hat{K},\hat{J}=\hat{L}$ suy ra IJKL là hình bình hành

d) Tứ giác MNPQ có: OQ = ON, OM , OP suy ra MNPQ là hình bình hành

e) Tứ giác TSRU có: $\hat{T} \neq \hat{R}$ suy ra TSRU không là hình bình hành

g) $\hat{V}+\hat{X}=75^{o}+105^{o}=180^{o}$ mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía suy ra VZ // XY

Tứ giác XYZV có: XY // VZ, XY = VZ suy ra XYZV là hình bình hành

Vận dụng 3: Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành có hai đường chéo AC và BD suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O cũng là trung điểm của BC

AKCH là hình bình hành có hai đường chéo AC và HK suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O cũng là trung điểm của HK

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. Hình thoi

Thực hành 3: Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm

b) Tính $\widehat{IMN}$ khi biết $\widehat{MNP}=128^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác MNI vuông tại I:

$MN^{2}=NI^{2}+MI^{2}$ suy ra $MI^{2}=MN^{2}-NI^{2}=10^{2}-6^{2}=64$ do đó MI = 8 dm

Do I là trung điểm của MP nên MP = 2MI = 2.8 = 16 (dm).

Vậy MP = 16 dm.

b) Ta có: $\widehat{NMQ}=180^{o}-128^{o}=52^{o}$

Lại có MP là phân giác góc $\widehat{NMQ}$ suy ra $\widehat{IMN}=52^{o}:2=26^{o}$

Vận dụng 4: Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3.2 cm và 2.4 cm

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài cạnh khuy áo là: $\sqrt{(\frac{3,2}{2})^{2}+(\frac{2,4}{2})^{2}}=2$ (cm)

Vận dụng 5: Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn

Hướng dẫn trả lời:

Các tứ giác có độ dài mỗi cạn đều bằng nhau suy ra tứ giác là hình thoi

Chu vi hoa văn: 3 x 4 x 2 = 24 (cm)

Vận dụng 6: Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Hướng dẫn trả lời:

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường suy ra tứ giác đó là hình thoi.

Độ dài mỗi cạnh là: 52 : 4 = 13 (cm)

Độ dài đường chéo còn lại là: $2.\sqrt{13^{2}-(\frac{24}{2})^{2}}=10$ (cm)

BÀI TẬP

Bài 1: Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Hướng dẫn trả lời:

a) AB = CD

b) EH // FG

c) OM = OP

d) $\hat{V}=\hat{T}$

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 21)

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID 

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác vuông DKC và BHA ta có:

DC = AB( hbh ABCD)

$\widehat{CDK}=\widehat{ABH}$ ( hbh ABCD, AB//DC)

Suy ra ΔDKC = ΔBHA ( ch-gn)

=> CK=AH

Ta có : AH ⊥ DB, CK ⊥ DB

=> CK//AH

Xét tứ giác AKCH có CK//AH (cmt), CK = AH (cmt)

=> AKCH là hình bình hành (dấu hiệu 3)

b) AKCH là hình bình hành suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có :

$ED=\frac{1}{2}AD$ (E là trung điểm của AD)

$BF=\frac{1}{2}BC$ (F là trung điểm của BC)

Và AD = BC (ABCD là hình bình hành)

⇒ ED = BF

Mà ED // BF (AD // BC, E ∈ AD; F ∈ BC)

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ⇒ O là trung điểm của BD

Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD ⇒ O là trung điểm của EF.

⇒ O ∈ EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì ?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)

$\widehat{ABF}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (BF là tia phân giác của $\widehat{ABC}$) và $\widehat{CDE}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$ (DE là tia phân giác của $\widehat{ADC}$)

⇒ $\widehat{ABF}=\widehat{CDE}$

Mà $\widehat{ADE}=\widehat{CDE}$ (hai góc so le trong và AB // CD)

Nên $\widehat{ABF}=\widehat{AED}$

Lại có $\widehat{ABF}$ và $\widehat{AED}$ là hai góc đồng vị

⇒ DE//BF

b) Tứ giác DEBF có DE // BF và EB // DF (AB // CD)

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có:

$AI=\frac{1}{2}AB$ (I là trung điểm của AB),

$CK=\frac{1}{2}CD$ (K là trung điểm của CD)

Và AB = CD (ABCD là hình bình hành)

⇒ AI=CK

Mà AI // CK (AB//CD, I ∈ AB, K ∈ CD)

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

b) ΔABE có I là trung điểm của AB và IF//AE

Nên F là trung điểm của EB ⇒ BF = EF (1) 

ΔDCF có EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF ⇒ DE = EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = BF

Bài 6: Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Hướng dẫn trả lời:

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF//AC và$EF=\frac{1}{2}AC$ (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC

⇒ HG là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ HG//AC và $HG=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ EF//HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC ⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà $\widehat{BAD}=90^{o}$ ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

Xét ΔEBF và ΔCGF có :

EB = EC (gt)

BF = FC (gt)

$\widehat{EBF}=\widehat{GCF} =(90^{o})$

⇒ ΔEBF = ΔGCF (c.g.c) ⇒ EF = GF

Chứng minh tương tự ta có GF = GH, GH = EF ⇒ EF = GF = GH = EH

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài 7: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.

Hướng dẫn trả lời:

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (gt)

⇒ O là trung điểm của AC và BD

⇒ $AO=\frac{AC}{2}$ và $DO=\frac{BD}{2}$

⇒ AO = 62 = 3 (cm) và DO = 82 = 4 (cm)

AC⊥BD tại O (vì ABCD là hình thoi)

ΔADO vuông tại O có $AD^{2}=AO^{2}+DO^{2}$ (Định lí Pytago)

⇒ $AD^{2}=3^{2}+4^{2}=25$ ⇒ AD = 5 (cm)

Vậy AB = BC = DC = AD = 5(cm)

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Hướng dẫn trả lời:

AD và BC cắt nhau tại M (gt);

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà AD⊥BC (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Tứ giác OAMB có:

OM và AB cắt nhau tại E (gt);

E là trung điểm của OM (gt)

E là trung điểm của AB (gt)

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{AMB}=90^{o}; \widehat{OBM}=\widehat{OAM}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$

Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.

Xét tam giác AOB và MBO ta có:

AO = MB (OAMB là hình bình hành)

$\widehat{AOB}=\widehat{MBO}=90^{o}$

OB chung

Suy ra ΔAOB = ΔMBO (c.g.c)

c) Ta có $ME=\frac{1}{2}AB$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và $AE=\frac{1}{2}AB$ (E là trung điểm của AB)

⇒ $EM=EA=\frac{1}{2}AB$ (1)

Ta có $MF=\frac{1}{2}AC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và $AF=\frac{1}{2}AC$ (F là trung điểm của AC)

⇒ $MF=AF=\frac{1}{2}AC$ (2)

AB = AC (ΔABC cân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.

Bài 9: Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22

Hướng dẫn trả lời:

Các hình bình hành: ABGH, AEIL, CDFG

Các hình thang: ABGH, ACGH, ADFH, AEFH, BDFG, CEFG, AEIK, AEIL, CDFG, BEFG