Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 CTST bài 4: Hình bình hành - Hình thoi

1. HÌNH BÌNH HÀNH

Hoạt động 1 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình 1a là hình ảnh của một thước...

Đáp án:

$\widehat{A_1} = \widehat{D}; \widehat{C_1} = \widehat{D}$

Hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD; AD // BC.

Hoạt động 2 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tứ giác ABCD...

Đáp án:

AB // DC => $\widehat{B_1} = \widehat{D_1}; \widehat{A_1} = \widehat{C_1}$

AD // BC suy ra $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ 

ABC = ∆CDA (g.c.g) ( đpcm)  => AB =CD

∆OAB = ∆OCD (g.c.g).

Thực hành 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo...

Đáp án:

Các đoạn thẳng bằng nhau: IR = IP; IQ = IS; PS = QR ; RS = PQ

Các góc bằng nhau:

$\widehat{PIS} = \widehat{QIR}$; $\widehat{SIR} = \widehat{PIQ}$; $\widehat{PSQ} = \widehat{SQR}$; $\widehat{PSR} = \widehat{PQR}$; $\widehat{SPR} = \widehat{PRQ}$; $\widehat{RPQ} = \widehat{PRS}$; $\widehat{RSQ} = \widehat{SQP}$; $\widehat{PQR} = \widehat{PSR}$. 

Vận dụng 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có...

Đáp án: 

Giả sử mắt lưới của lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác ABCD có AB = 4cm , AD = 5 cm => AB = CD = 4 cm; AD = BC = 5 cm.

Vận dụng 2 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình...

Đáp án:

HG = EF = 40 m;

EG = EM.2 = 36.2 = 72 (m);

HF = MH.2 = 16.2 = 32 (m).

Hoạt động 3 trang 75 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Đáp án:

a) ∆ABC = ∆CDA (c.c.c)

=> $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ => AD // BC

$\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ => AB // CD

b) $\widehat{CAB} = \widehat{ACD}$ => AB // CD.

   ∆ABC = ∆CDA (c.g.c) => $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ => AD //BC

c) $\widehat{DAC} = \widehat{ACB}$ => AD // BC

∆ABC = ∆CDA (c.g.c) => $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ => AB // CD

d) $\widehat{A}+ \widehat{B}+\widehat{C}+ \widehat{D}= 360°$

⬄ $\widehat{A}+ \widehat{B}+\widehat{A}+ \widehat{B}= 360°$

=> $\widehat{A}+ \widehat{B}= 180° => \widehat{A}+ \widehat{D} = 180°$

=> AD // BC ; AB // CD.

e) ∆PAB = ∆PCD (c.g.c) => $\widehat{BAP} = \widehat{DCP} => AB // CD$.

∆PAD = ∆PCB (c.g.c) => $\widehat{DAP} = \widehat{BCP} => AD // BC$.

Thực hành 2 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành...

Đáp án:

Tứ giác không là hình bình hành : TSRU

Vận dụng 3 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành...

Đáp án:

ABCD là hình bình hành => AC và BD cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường AKCH là hình bình hành=> HK và AC cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow$ ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O (đpcm).

2. HÌNH THOI

Hoạt động4 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình 11a là hình chụp...

Đáp số:

AB = BC = CD = DA.

Hoạt động 5 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Hình thoi có là hình bình hành không...

Đáp số:

a) Hình thoi cũng là hình bình hành.

b) ∆OCB = ∆OCD (c.c.c)

    ∆OAB = ∆OCD (c.g.c) 

    ∆OAB = ∆OAD (c.c.c) 

$\Rightarrow$ ∆OAB = ∆OBC = ∆OCD = ∆ODA.

Thực hành 3 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo...

Đáp án:

a)  

$MI = \sqrt{MN^2 - NI^2} = \sqrt{10^2 -6^2} = 8 (dm)$

$MP = 2.MI = 2.8 = 16 (dm)$.

b)

$\widehat{nmq} = 180^{\circ} - \widehat{MNP} =180° − 128° = 52°$

$\widehat{IMN}= \frac{1}{2}\widehat{NMQ} =12.52° = 26°$

Vận dụng 4 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt...

Đáp án:

$OB = BD : 2 = 2,4 : 2 = 1,2 (cm)$

$OC = AC : 2 = 3,2 : 2 = 1,6 (cm)$

$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{1,2^2 + 1,6^2} = 2(cm)$

Vậy khuy áo có cạnh là 2 cm.

Hoạt động 6 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho ABCD là một hình bình hành...

Đáp số:

Trường hợp 1: AB = AD.

ABCD là hình bình hành => AB = CD ; AD = BC

AB = AD (gt) => AB = BC = CD = AD.

Trường hợp 2: AC ⊥ BD.

ABCD là hình bình hành 

AB = CD, AD = BC và O là trung điểm của BD, AC 

∆OBA = ∆OBC => AB = BC

AB =BC= CD = DA.

Trường hợp 3: AC là đường phân giác $\widehat{BAD}$

AC là tia phân giác của $\widehat{BAD} \Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{DAC}$

AB // CD => $\widehat{BAC} = \widehat{ACD}$

$\Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{ACD}$ => ΔACD cân tại D

 => AD = CD

ABCD là hình bình hành => AD = BC ; AB = CD  

$\Rightarrow AD = CD = BC = AB.$

Trường hợp 4: BD là đường phân giác $\widehat{ABC}$

Tương tự như trường hợp 3 ta chứng minh được AB = AD = BC = CD

Vận dụng 5 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi...

Đáp án:

Tứ giác này là hình thoi.

Chu vi của hoa văn là: (2.4).3 = 24 (cm).

Vận dụng 6 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh...

Đáp án:

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường 

=> ABCD hình thoi.

=> AB = BC = CD = AD = 52: 4 = 13 (cm).

Giả sử AC = 24 cm và hai đường chéo cắt nhau tại O.

$\Rightarrow OA = OC = 12 cm$.

∆OAB vuông tại O, ta có:

$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5 (cm)$

BD = 2.BO = 2.5 = 10 (cm)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong...

Đáp án:

a) Trường hợp 1:  AD // BC.

Trường hợp 2:  AB = CD.

b) Trường hợp 1: EF = GH.

Trường hợp 2: EH // GF.

c) O là trung điểm của MP.

d) $\widehat{V} = \widehat{T}$

Bài tập 2 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại...

Đáp án:

a) ∆AHD = ∆CKB (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = CK 

AH // CK ( do BD)

Tứ giác AKCH có  AH=CK ; AH // CK => AKCH là hình bình hành.

b) ∆AHD = ∆CKB => HD = BK

I là trung điểm của HK (gt) => HI = KI

$\Rightarrow$ HD + HI = BK + KI

$\Rightarrow$ DI = BI 

Bài tập 3 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC...

Đáp án: 

a) ABCD là hình bình hành => AD // BC ; AD = BC

F là trung điểm của BC => BF = FC

E là trung điểm của AD => AE = ED

$\Rightarrow$ DE = BF

Xét tứ giác EBFD có: DE // BF ; DE = BF => DEBF là hình bình hành

b) DEBF là hình bình hành EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành ABCD => O là trung điểm của BD

O là trung điểm của EF => 3 điểm E , O , F thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 4 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD...

Đáp án:

a) BF là tia phân giác của góc B nên:

 $ \widehat{B_1}+ \widehat{B_2} =\frac{1}{2}\widehat{B}$

DE là tia phân giác của góc D nên:

$\widehat{D_1}+ \widehat{D_2} = \frac{1}{2}\widehat{D}$

ABCD là hình bình hành => $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$; $\widehat{B_1} = \widehat{D_2}$

AB // CD => $\widehat{B_1} = \widehat{F_1}$ 

$\widehat{D_2} = \widehat{F_1}$ =>DE // BF.

b) Tứ giác DEBF có: DE // BF ; BE // DF => DEBF là hình bình hành.

Bài tập 5 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh...

Đáp án:

a) ABCD là hình bình hành => AB // CD ; AB = CD

I là trung điểm của AB nên $AI = BI = \frac{1}{2}AB$

K là trung điểm của CD nên $DK = KC = \frac{1}{2}CD$

ABCD là hình bình hành => AB // CD ; AB = CD; AI = CK.

Xét tứ giác AKCI có: AI // CK ; AI = CK => AKCI là hình bình hành

=> AK // CI hay AE // IF => AEFI là hình thang.

b) Xét ∆ABC có: 

CI , BO là hai đường trung tuyến của tam giác và CIBO={F}

F là trọng tâm của ∆ABC

 => $FO = \frac{1}{3}BO; BF = \frac{2}{3}BO$

∆ACD chứng minh tương tự ta có E là trọng tâm 

 => $EO = \frac{1}{3}DO; DE = \frac{2}{3}DO$

Mà BO = DO

 =>  $FO = EO = \frac{1}{3}BO; BF = DE = \frac{2}{3}BO$

 => $DE = EF = FB = \frac{2}{3}BO$

Bài tập 6 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi...

Đáp án:

AB = DC ; AD = BC => ABCD là hình bình hành 

$\Rightarrow$ AD // BC ; AB // CD

AD⊥AB => AD⊥CD; BC⊥CD; AB⊥BC

∆AHE = ∆BFE => HE = EF

Chứng minh tương tự ta cũng có: HG = HE ; EF = FG

$\Rightarrow$ HE = EF = FG = HG => tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài tập 7 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Đáp án:

$OA = \frac{1}{2}AC = 3 (cm)$

$OB = \frac{1}{2}BD = 4 (cm)$

∆BOA vuông tại O, ta có: 

$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}= 5(cm)$

Bài tập 8 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC...

Đáp án:

a) D đối xứng với A qua BC => AD ⊥ BC; M là trung điểm của AD

Tứ giác ABDC có AD và BD cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường ABDC là hình bình hành.

Mà AD⊥BC  ABDC là hình thoi.

b) Tứ giác OAMB có AB và OM cắt nhau tại E là trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow$ OAMB là hình bình hành => OB // AM ; OA // BM 

 OB // AM;  AM⊥MB => OB⊥MB

 OA // MB ; OB⊥MB => OA⊥OB

 OAMB là hình bình hành => BO = AM; AO = MB

 =>  ∆AOB = ∆MBO (hai cạnh góc vuông).

c) ∆AOB=∆MBO => AB=OM

E là trung điểm của AB và OM => AE=EM

Chứng minh tương tự ta có FA = FM

∆ABC cân tại A => AE=AF

$\Rightarrow$ AE = EM = MF = FA => AEMF là hình thoi

Bài tập 9 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong...

Đáp án:

Hình thang là: APGF , QGMN , PGMD , ANMF , ADMF , QGMD , ADCE

Hình bình hành là: AFGQ , ADCB.