Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 5: Phân thức đại số

1. Phân thức đại số

Thực hành 1: Tìm giá trị của phân thức:

a) $\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}$ tại x = -3; x = 1

b) $\frac{xy-3y^{2}}{x+y}$ tại x = 3; y = -1

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại x = -3, ta có: $\frac{(-3)^{2}-2.(-3)+1}{-3+2}=-16$

Tại x = 1, ta có: $\frac{1^{2}-2.1+1}{1+2}=0$

b) Tại x = 3, y = -1 ta có: $\frac{3.(-1)-3.(-1)^{2}}{3+(-1)}=-3$

Thực hành 2: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức:

a) $\frac{1}{2a+4}$

b) $\frac{xy^{2}}{x-2y}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện xác định: $x+2\neq 0$ hay $x\neq -2$

b) Điều kiện xác định $x-2y\neq 0$

Vận dụng: Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức $C(x)=\frac{0,0002x^{2}+12x+1000}{x}$, trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi x = 100, x = 1000

Hướng dẫn trả lời:

Tại x = 100, $C=\frac{0,0002.100^{2}+12.100+1000}{100}=130,02$ (nghìn đồng)

Tại x = 1000, $C=\frac{0.0002.1000^{2}+12.1000+1000}{1000}=121,2$ (nghìn đồng)

2. Hai phân thức bằng nhau

Thực hành 3: Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{xy^{2}}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$

b) $\frac{xy-y}{x}$ và $\frac{xy-x}{y}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $(xy^{2})(x+1)=x^{2}y^{2}+xy^{2}=xy(xy+y)$

Vậy $(xy^{2})(x+1)=xy(xy+y)$

Do đó, $\frac{xy^{2}}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}$

b) Ta có: $(xy-y)y=xy^{2}-y^{2}$

$x(xy-x)=x^{2}y-x^{2}$

Do $xy^{2}-y^{2}\neq x^{2}y-x^{2}$ hay $(xy-y)y\neq x(xy-x)$

Vậy $\frac{xy-y}{x} \neq \frac{xy-x}{y}$

3. Tính chất cơ bản của phân thức

Thực hành 4: Chứng tỏ hai phân thức $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}$ và $\frac{a-b}{ab}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau

Hướng dẫn trả lời:

Cách 1:

Ta có: $(a^{2}b+ab^{2})(a-b)=a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}-ab^{3}=a^{3}b-ab^{3}=ab(a^{2}-b^{2})$

Do đó: $(a^{2}-b^{2})ab=(a^{2}+ab^{2})(a-b)$

Vậy $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{a-b}{ab}$

Cách 2:

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a+b)}=\frac{a-b}{ab}$

Thực hành 5: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}$

b) $\frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}$

c) $\frac{x+1}{x^{3}+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}=\frac{3x(x+2y)}{6x^{2}}=\frac{x+2y}{2x}$

b) $\frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}=\frac{-x^{2}(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-x^{2}}{x+2}$

c) $\frac{x+1}{x^{3}+1}=\frac{x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{1}{x^{2}-x+1}$

BÀI TẬP

Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3;\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$

Hướng dẫn trả lời:

Các phân thức: $\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3$

Bài 2: Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\frac{4x-1}{2x-6}$

b) $\frac{x-10}{x+3y}$

c) $3x^{2}-x+7$

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện xác đinh: $2x-6 \neq 0$ hay $x\neq 3$

b) Điều kiện xác định: $x+3y\neq 0$ 

c) Phân thức xác định với mọi x

Bài 3: Tìm giá trị của phân thức

a) $A=\frac{3x^{2}+3x}{x^{2}+2x+1}$ tại x = -4

b) $B=\frac{ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ tại a = 4; b = -2

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại x = -4; $A=\frac{3.(-4)^{2}+3.(-4)}{(-4)^{2}+2.(-4)+1}=4$

b) Tại a = 4; b = -2 thì $B=\frac{4.(-2)-(-2)^{2}}{4^{2}-(-2)^{2}}=-1$

Bài 4: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$

b) $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}$ và $\frac{a-b}{2b}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$

$\frac{6c}{2a^{2}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$

Do đó: $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{6c}{2a^{2}b}$

b) $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{3b(a-b)}{3b.2b}=\frac{a-b}{2b}$

Do đó: $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{a-b}{2b}$

Bài 5: Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau:

a) $\frac{3x+1}{x-1}=\frac{?}{x^{2}-1}$

b) $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{?}{x^{2}-2x+4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{3x+1}{x-1}=\frac{(3x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x^{2}+4x+1}{x^{2}-1}$

Đa thức cần tìm là: $3x^{2}+4x+1$

b) $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x^{2}+2x+4)}=\frac{x}{x^{2}-2x+4}$

Đa thức cần tìm là x

Bài 6: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}$

b) $\frac{3x^{2}-3x}{x-1}$

c) $\frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}$

d) $\frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}=\frac{3x}{2y^{4}}$

b) $\frac{3x^{2}-3x}{x-1}=\frac{3x(x-1)}{x-1}=3x$

c) $\frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}=\frac{a(b^{2}-ab)}{a(2a+1)}=\frac{b^{2}-ab}{2a+1}$

d) $\frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}=\frac{12(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{18(x^{2}-1)}=\frac{2(x^{2}+1)}{3}$