Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

Thực hành 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(3x+1)^{2}$

b) $(4x+5y)^{2}$

c) $(5x-\frac{1}{2})^{2}$

d) $(-x+2y^{2})^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(3x+1)^{2}=(3x)^{2}+2.3x+1+1^{2}=9x^{2}+6x+1$

b) $(4x+5y)^{2}=(4x)^{2}+2.4x.5y+(5y)^{2}=16x^{2}+40xy+25y^{2}$

c) $(5x-\frac{1}{2})^{2}=(5x)^{2}-2.5x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=25x^{2}-5x+\frac{1}{4}$

d) $(-x+2y^{2})^{2}=(-x+2y^{2})=x^{2}-2.x.2y^{2}+(2y^{2})^{2}=x^{2}-4xy^{2}+4y^{4}$

Thực hành 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

a) $a^{2}+10ab+25b^{2}$

b) $1+9a^{2}-6a$

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{2}+10ab+25b^{2}=(a+5b)^{2}$

b) $1+9a^{2}-6a=(1-3a)^{2}$

Thực hành 3: Tính nhanh

a) $52^{2}$

b) $98^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $52^{2}=(50+2)^{2}=50^{2}+2.50.2+2^{2}=2500+200+4=2704$

b) $98^{2}=(100-2)^{2}=100^{2}-2.100.2+2^{2}=10000-400+4=9604$

Vận dụng 1: 

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng:

$(x+10)^{2}=x^{2}+20x+100$

b) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng:

$(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$

2. Hiệu của hai bình phương

Thực hành 4: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(4-x)(4+x)$

b) $(2y+7z)(2y-7z)$

c) $(x+2y^{2})(x-2y^{2})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4-x)(4+x)=4^{2}-x^{2}$

b) $(2y+7z)(2y-7z)=(2y)^{2}-(7z)^{2}=4y^{2}-49z^{2}$

c) $(x+2y^{2})(x-2y^{2})=x^{2}-(2y^{2})^{2}=x^{2}-4y^{4}$

Thực hành 5: Tính nhanh

a) 82.78

b) 87.93

c) $125^{2}-25^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $82.78=(80-2)(80+2)=80^{2}-2^{2}=6400-4=6396$

b) $87.93=(90-3)(90+3)=90^{2}-3^{2}=8100-9=8091$

c) $125^{2}-25^{2}=(125-25)(125+25)=100.150=15000$

Vận dụng 2: Giải đáp câu hỏi ở trang 18

Hướng dẫn trả lời:

$65^{2}-35^{2}=(65-35)(65+35)=30.100=3000$

$102.98=(100-2)(100+2)=100^{2}-2^{2}=10000-4=9996$

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Thực hành 6: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(x+2y)^{3}$

b) $(3y-1)^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x+2y)^{3}=x^{3}+3x^{2}.2y+2x.(2y)^{2}+(2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}$

b) $(3y-1)^{3}=(3y)^{3}-3.(3y)^{2}.1+3.3y.1^{2}-1^{3}=27y^{3}-27y^{2}+9y-1$

Vận dụng 3: Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Hướng dẫn trả lời:

Dung tích của thùng là: $(x-3)^{3}=x^{3}-9x^{2}+27x-27$

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Thực hành 7: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) $8y^{3}+1$

b) $y^{3}-8$

Hướng dẫn trả lời:

a) $8y^{3}+1=(2y+1)(4y^{2}-2y+1)$

b) $y^{3}-8=(y-2)(y^{2}+2y+2)$

Thực hành 8: Tính:

a) $(x+1)(x^{2}-x+1)$

b) $(2x-\frac{1}{2})(4x^{2}+x+\frac{1}{4})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}+1$

b) $(2x-\frac{1}{2})(4x^{2}+x+\frac{1}{4})=8x^{3}-\frac{1}{8}$

Vận dụng 4: Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích phần còn lại là:

$(2x+1)^{3}-(x+1)^{3}=[2x+1-(x+1)][(2x+1)^{2}+(2x+1).(x+1)+(x+1)^{2}]$

$=(2x+1-x-1)(4x^{2}+4x+1+2x^{2}+2x+x+1-x^{2}-2x-1)$

$=x(5x^{2}+5x+1)=5x^{3}+5x^{2}+x$

BÀI TẬP

Bài 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(3x+4)^{2}$

b) $(5x-y)^{2}$

c) $(xy-\frac{1}{2}y)^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$

b) $(5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$

c) $(xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

a) $x^{2}+2x+1$

b) $9-24x+16x^{2}$

c) $4x^{2}+\frac{1}{4}+2x$

Hướng dẫn trả lời:

a) $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$

b) $9-24x+16x^{2}=(3-4x)^{2}$

c) $4x^{2}+\frac{1}{4}+2x=(2x+\frac{1}{2})^{2}$

Bài 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3x - 5)(3x + 5)

b) (x - 2y)(x + 2y)

c) $(-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(3x - 5)(3x + 5)=9x^{2}-25$

b) $(x - 2y)(x + 2y)=x^{2}-4y^{2}$

c) $(-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 4: a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Hướng dẫn trả lời:

a) $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$

b) $(3x-2)^{3}=27x^{3}-54x+36x-8$

Bài 5: Tính nhanh

a) $38.42$

b) $102^{2}$

c) $198^{2}$

d) $75^{2}−25^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $38.42=(40-2)(40+2)=40^{2}-2^{2}=1600-4=1596$

b) $102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2.100.2+2^{2}=10000+400+4=10404$

c) $198^{2}=(200-2)^{2}=200^{2}-2.200.2+2^{2}=40000-800+4=39204$

d) $75^{2}−25^{2}=(75-25)(75+25)=50.100=5000$

Bài 6: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(2x-3)^{3}$

b) $(a+3b)^{3}$

c) $(xy-1)^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(2x-3)^{3}=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.3+3.2x.3^{2}-3^{3}=8x^{3}-36x^{2}+54x-27$

b) $(a+3b)^{3}=a^{3}+3a^{2}.3b+3a.(3b)^{2}+(3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$

c) $(xy-1)^{3}=(xy)^{3}-3(xy)^{2}+3xy.1^{3}-1^{3}=x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{2}+3xy-1$

Bài 7: Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)$

b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)=a^{3}-5^{3}=a^{3}-125$

b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2}=x^{3}+(2y)^{3}=x^{2}+8y^{3}$

Bài 8: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$

b) $(xy+1)^{2}-(xy-1)^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=(a^{2}-1)(a^{2}+1)=a^{4}-1$

b) $(xy+1)^{2}-(xy-1)^{2}=(xy+1+xy-1)(xy+1-xy+1)=2xy.2=4xy$

Bài 9: 

a) Cho x + y = 12 và xy = 35. Tính $(x-y)^{2}$

b) Cho x - y = 8 và xy = 20. Tính $(x+y)^{2}$

c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính $x^{3}+y^{3}$

d) Cho x - y =3 và xy = 40. Tính $x^{3}-y^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})-4xy=(x+y)^{2}-4xy=12^{2}-35.4=4$

b) $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=(x^{2}-2xy+y^{2})+4xy=(x-y)^{2}+4xy=8^{2}+4.20=144$

c) $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=(x+y)[(x^{2}+2xy+y^{2})-3xy]$

$=(x+y)[(x+y)^{2}-3xy]=5.(5^{2}-3.6)=35$

d) $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=(x-y)[(x^{2}-2xy+y^{2}+3xy]$

$=(x-y)[(x-y)^{2}+3xy]=3.(3^{2}+3.40)=387$

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích hình hộp chữ nhật ban đầu là: $5^{3}=125(cm^{3})$

a) Thể tích hình hộp chữ nhật khi chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm là:

$5(5+a)^{2}=5(25+10a+a^{2})=125+50a+5a^{2}(cm^{3})$

Khi đó thể tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm $125+50a+5a^{2}-125=50+5a^{2}(cm^{3})$

b) Thể tích hình hộp chữ nhật khi chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm là: $(5+a)^{3}=125+75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{3})$

Khi đó thể tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 

$125+75a+15a^{2}+a^{3}-125=75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{3})$