Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 1: Định lí Pythagore

1. Định lí Pythagore

Thực hành 1: Tính độ dài cạnh EF, MN của các tam vuông trong Hình 3

Hướng dẫn trả lời:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DEF vuông tại D ta có:

$EF^{2}=DF^{2}+DE^{2}=12^{2}+5^{2}=169$

Vậy EF = 13 cm

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MNP vuông tại M ta có:

$NP^{2}=MN^{2}+MP^{2}$ suy ra $MN^{2}=NP^{2}-MP^{2}=4^{2}-3^{2}=7$

Vậy $MN=\sqrt{7}$ cm

Vận dụng 1: Một chiếc ti vi màn hình phẳng có chiều rộng và chiều dài đo được lần lượt là 72 cm và 120 cm. Tính độ dài đường chéo của chiếc ti vi đó theo đơn vị inch (biết 1 inch ≈ 2.54 cm)

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng định lí Pythagore, ta có độ dài đường chéo của chiếc ti vi là:

$\sqrt{72^{2}+120^{2}}=24\sqrt{34} cm ≈ 55 inch$

2. Định lí Pythagore đảo

Thực hành 2: Tìm tam giác vuông trong các tam giác sau:

a) Tam giác EFK có EF = 9m, FK = 12 m, EK = 15 m

b) Tam giác PQR có PQ = 17 cm, QR = 12 cm, PR = 10 cm

c) Tam giác DEF có DE = 8 m, DF = 6 m, EF = 10m

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $15^{2}=12^{2}+9^{2}$ suy ra $EK^{2}=FK^{2}+EF^{2}$. Vậy tam giác EFK vuông tại F

b) Ta có PQ là cạnh dài nhất và $17^{2}\neq 12^{2}+10^{2}$, suy ra $PQ^{2}\neq QR^{2}+PR^{2}$. Vậy tam giác PQR không phải tam giác vuông

c) Ta có: $10^{2}=8^{2}+6^{2}$ suy ra $EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}$. Vậy tam giác DEF vuông tại D

Vận dụng 2:

a) Nam dự định làm một cái eke từ ba thanh nẹp gỗ. Nam đã có hai thanh làm hai cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Hỏi thanh nẹp còn lại Nam phải làm có độ dài bao nhiêu? (Giả sử các mối nối không đáng kể).

b) Một khung gỗ ABCD (Hình 6) được tạo thành từ 5 thanh nẹp có độ dài như sau AB = CD = 36 cm; BC = AD = 48 cm; AC = 60 cm. Chứng minh rằng $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ADC}$ là các góc vuông.

Hướng dẫn trả lời:

a) Thanh nẹp còn lại có độ dài là: $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$ (cm)

b) Xét tam giác ABC có: $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ suy ra $AC^{2}+AB^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại B nên $\widehat{ABC}$ là góc vuông 

Xét tam giác ACD có: $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ suy ra $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại D nên $\widehat{ADC}$ là góc vuông

3. Vận dụng định lí Pythagore

Thực hành 3: Tính các độ dài PN và BC trong Hình 9

Hướng dẫn trả lời:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P ta có:

$OM^{2}=OP^{2}+MP^{2}$ suy ra $OP^{2}=OM^{2}-MP^{2}=25^{2}-7^{2}=576$

Do đó OP = 24 cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPN vuông tại P ta có:

$ON^{2}=OP^{2}+PN^{2}$ suy ra $PN^{2}=ON^{2}-OP^{2}=30^{2}-24^{2}=324$

Do đó PN = 18 cm

b) Kẻ CH vuông góc với AB ta có: CH = AD = 4 cm, AH = CD = 7cm, HB = AB - AH = 10 - 7 = 3 (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác CBH ta có:

$BC^{2}=CH^{2}+HB^{2}=4^{2}+3^{2}=25$

Vậy BC = 5 cm

Vận dụng 3: Tính chiều dài cần cẩu AB trong Hình 10

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: AC = 5 - 2 = 3 (m)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có:

$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$

Vậy độ dài cần cẩu AB là 5 m

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tính độ dài cạnh BC nếu biết AB = 7 cm, AC = 24 cm

b) Tính độ dài cạnh AB nếu biết AC = 2 cm, BC = $\sqrt{13}$ cm

c) Tính độ dài cạnh AC nếu biết BC = 25 cm, AB = 15 cm

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

a) Ta có: $BC^{2}=7^{2}+24^{2}=625$. Vậy BC = 25 cm

b) Ta có: $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=(\sqrt{13})^{2}-2^{2}=9$. Vậy AB = 3 cm

a) Ta có: $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=25^{2}-15^{2}=400$. Vậy BC = 20 cm

Bài 2: Tính độ cao của con diều so với mặt đất (Hình 11).

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ 

Suy ra $AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=50^{2}-25^{2}=1875$

Do đó $AC=25\sqrt{3}$ (m)

Độ cao của con diều so với mặt đất là $25\sqrt{3}+1 =44,3 (m)$

Bài 3: Lần lượt tính độ dài các cạnh huyền a, b, c, d của các tam giác vuông trong hình 12. Hãy dự đoán kết quả của các cạnh huyền còn lại

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông, ta có:

$a^{2}=1^{2}+1^{2}=2$. Mà a > 0 do đó $a=\sqrt{2}$

$b^{2}=1^{2}+a^{2}=1+2=3$. Mà b > 0 do đó $b=\sqrt{3}$

$c^{2}=b^{2}+1^{2}=1+3=4$. Mà c > 0 do đó $c=2$

$d^{2}=1^{2}+c^{2}=1+4=5$. Mà d > 0 do đó $d=\sqrt{5}$

Dự đoán độ dài các cạnh huyền còn lại lần lượt là:

$e=\sqrt{6}; f=\sqrt{7};g=\sqrt{8};h=3;i=\sqrt{10};j=\sqrt{11};k=\sqrt{12};l=\sqrt{13};m=\sqrt{14}$

Bài 4: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông trong các trường hợp sau:

a) AB = 8cm, AC = 15cm, BC = 17cm;

b) AB = 29cm, AC = 21cm, BC = 20cm;

c) AB = 12cm, AC = 37cm, BC = 35cm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $17^{2}=8^{2}+15^{2}$ suy ra $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại A

b) Ta có: $29^{2}=21^{2}+20^{2}$ suy ra $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại C

c) Ta có: $37^{2}=12^{2}+35^{2}$ suy ra $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại B

Bài 5: Cho biết thang của một xe cứu hỏa có chiều dài 13 cm, chân thang cách mặt đất 3m, và cách tường của tòa nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore ta có: $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ suy ra $AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=13^{2}-5^{2}=144$

Do đó AC = 12 cm

Chiều cao mà thang có thể vươn tới là: 12 + 3 = 15 (m)

Bài 6: Một con thuyền đang neo ở một điểm cách chân tháp hải đăng 180 m. Cho biết tháp hải đăng cao 25 m. Hãy tính khoảng cách từ thuyền đến ngọn hải đăng

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore ta có khoảng cách từ thuyền đến ngọn hải đăng là:

$\sqrt{180^{2}+25^{2}}=181,73$ (m)