Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 7: Nhân, chia phân thức

1. Nhân hai phân thức

Thực hành 1: Tính:

a) $\frac{3a^{2}}{10b^{3}}.\frac{15b}{9a^{4}}$

b) $\frac{x-3}{x^{2}}.\frac{4x}{x^{2}-9}$

c) $\frac{a^{2}-6a+9}{a^{2}+3a}.\frac{2a+6}{a-3}$

d) $\frac{x+1}{x}.(x+\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{3a^{2}}{10b^{3}}.\frac{15b}{9a^{4}}=\frac{3a^{2}.15b}{10b^{3}.9a^{4}}=\frac{45a^{2}b}{90a^{4}b^{3}}=\frac{1}{2a^{2}b}$

b) $\frac{x-3}{x^{2}}.\frac{4x}{x^{2}-9}=\frac{(x-3)4x}{x^{2}(x^{2}-9)}=\frac{4x(x-3)}{x^{2}(x-3)(x+3)}=\frac{4x}{x^{2}(x+3)}$

c) $\frac{a^{2}-6a+9}{a^{2}+3a}.\frac{2a+6}{a-3}=\frac{(a-3)^{2}.2.(a+3)}{a(a+3)(a-3)}=\frac{2(a-3)}{a}$

d) $\frac{x+1}{x}.(x+\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1})=\frac{x+1}{x}.x+\frac{x+1}{x}.\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1}=x+1+\frac{2-x^{2}}{x(x-1)}=\frac{(x^{2}-1)x+2-x^{2}}{x(x-1)}$

$=\frac{x^{3}-x+2-x^{2}}{x(x-1)}$

2. Chia hai phân thức

Thực hành 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{x^{2}-9}{x-2}:\frac{x-3}{x}$

b) $\frac{x}{z^{2}}.\frac{xz}{y^{3}}:\frac{x^{3}}{yz}$

c) $\frac{2}{x}-\frac{2}{x}:\frac{1}{x}+\frac{4}{x}.\frac{x^{2}}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{x^{2}-9}{x-2}:\frac{x-3}{x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}.\frac{x}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{x-2}$

b) $\frac{x}{z^{2}}.\frac{xz}{y^{3}}:\frac{x^{3}}{yz}=\frac{x}{z^{2}}.\frac{xz}{y^{3}}.\frac{yz}{x^{3}}=\frac{x.xz.yz}{z^{2}.y^{3}x^{3}}=\frac{1}{xy^{2}}$

c) $\frac{2}{x}-\frac{2}{x}:\frac{1}{x}+\frac{4}{x}.\frac{x^{2}}{2}=\frac{2}{x}-2+2x=\frac{2}{x}-\frac{2x}{x}+\frac{2x^{2}}{x}=\frac{2-2x+2x^{2}}{x}$

Vận dụng: Đường sắt và đường bộ từ thành phố A đến thành phố B có độ dài bằng nhau và bằng s (km). Thời gian để đi từ A đến B của tàu hỏa là a (giờ), của ô tô khách là b (giờ) (a<b). Tốc độ của tàu hỏa gấp bao nhiêu lần tốc độ của ô tô? Tính giá trị này khi s = 350, a = 5, b = 7

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ của tàu hỏa: $\frac{s}{a}$ (km/h)

Tốc độ của ô tô: $\frac{s}{b}$ (km/h)

Tốc độ của tàu hỏa gấp $\frac{s}{a}:\frac{s}{b}=\frac{b}{a}$ lần tốc độ của ô tô

Khi s = 350, a = 5, b = 7, tốc độ của tàu hỏa gấp $\frac{7}{5}$ lần tốc độ của ô tô

BÀI TẬP

Bài 1: Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

a) $\frac{4y}{3x^{2}}.\frac{5x^{3}}{2y^{3}}$

b) $\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}.\frac{x^{2}+x}{x-1}$

c) $\frac{2x+x^{2}}{x^{2}-x+1}.\frac{3x^{3}+3}{3x+6}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{4y}{3x^{2}}.\frac{5x^{3}}{2y^{3}}=\frac{4y.5x^{3}}{3x^{2}2y^{3}}=\frac{10x}{3y^{2}}$

b) $\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}.\frac{x^{2}+x}{x-1}=\frac{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+x)}{(x^{2}-1)(x-1)}=\frac{(x-1)^{2}x(x+1)}{(x-1)^{2}(x+1)}=x$

c) $\frac{2x+x^{2}}{x^{2}-x+1}.\frac{3x^{3}+3}{3x+6}=\frac{x(2+x).3(x+1)(x^{2}-x+1)}{(x^{2}-x+1).3(x+2)}=x(x+1)$

Bài 2: Thực hiến các phép chia phân thức sau:

a) $\frac{5x}{4y^{3}}:(-\frac{x^{4}}{20y})$

b) $\frac{x^{2}-16}{x+4}:\frac{2x-8}{x}$

c) $\frac{2x+6}{x^{3}-8}:\frac{(x+3)^{3}}{2x-4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{5x}{4y^{3}}:(-\frac{x^{4}}{20y})=\frac{5x}{4y^{3}}.\frac{-20y}{x^{4}}=\frac{-100xy}{4x^{4}y^{3}}=\frac{-25}{x^{3}y^{2}}$

b) $\frac{x^{2}-16}{x+4}:\frac{2x-8}{x}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}.\frac{x}{2(x-4)}=\frac{(x-4)(x+4)x}{(x+4).2(x-4)}=\frac{x}{2}$

c) $\frac{2x+6}{x^{3}-8}:\frac{(x+3)^{3}}{2x-4}=\frac{2(x+2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}.\frac{2(x-2)}{(x+3)^{2}}=\frac{2(x+3).2(x-2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4).(x+3)^{2}}=\frac{4}{(x^{2}+2x+4)(x+3)}$

Bài 3: Tính:

a) $\frac{4x^{2}+2}{x-2}.\frac{3x+2}{x-4}.\frac{4-2x}{2x^{2}+1}$

b) $\frac{x+3}{x}.\frac{x+2}{x^{2}+6x+9}:\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{4x^{2}+2}{x-2}.\frac{3x+2}{x-4}.\frac{4-2x}{2x^{2}+1}=\frac{2(2x^{2}+1)(3x+2).2(2-x)}{-(2-x)(x-4)(2x^{2}+1)}=-\frac{4(3x+2)}{x-4}$

b) $\frac{x+3}{x}.\frac{x+2}{x^{2}+6x+9}:\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x}=\frac{(x+3)(x+2)x(x+3)}{x(x+3)^{2}(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x-2}$

Bài 4: Tính:

a) $(\frac{1-x}{x}+x^{2}-1):\frac{x-1}{x}$

b) $(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}).\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}$

c) $\frac{3-x}-\frac{2}{x}:\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(\frac{1-x}{x}+x^{2}-1):\frac{x-1}{x}=\frac{1-x}{x}:\frac{x-1}{x}+x^{2}:\frac{x-1}{x}-1:\frac{x-1}{x}$

$=1+\frac{x^{3}}{x-1}-\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+x^{3}-x}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=x^{2}+x+1$

b) $(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}).\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}=\frac{1}{x^{2}}.\frac{x^{2}}{y}-\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}=\frac{1}{y}-\frac{x}{y}+\frac{x}{y}=\frac{1}{y}$

c) $\frac{3-x}-\frac{2}{x}:\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{3}=\frac{3}{x}-2+\frac{x}{3}=\frac{9-6x+x^{2}}{3x}=\frac{(x-3)^{2}}{3x}$

Bài 5: Tâm đạp xe từ nhà tới câu lạc bộ câu cá có quãng đường dài 15 km với tốc độ x (km/h). Lượt về thuận chiều gió nên tốc độ nhanh hơn lượt đi 4 km/h

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và về

b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về

c) Tính T và t với x = 10

Hướng dẫn trả lời:

Thời gian lượt đi: $\frac{15}{x}$ (giờ)

Thời gian lượt về: $\frac{15}{x+4}$ (giờ)

a) $T=\frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}=\frac{15x+60+15x}{x(x+4)}=\frac{30x+60}{x(x+4)}$

b) $t=\frac{15}{x}-\frac{15}{x+4}=\frac{15x+60-15x}{x(x+4)}=\frac{60}{x(x+4)}$

c) Với x = 10 thì $T=\frac{30.10+60}{10.(10+4)}=\frac{18}{7}$

Với x =10, $t=\frac{60}{10.(10+4)}=\frac{3}{7}$