Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 6: Cộng, trừ phân thức

1. Cộng trừ hai phân thức cùng mẫu

Thực hành 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}$

b) $\frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$

c) $\frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}$

b) $\frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}=\frac{x^{2}y-xy^{2}}{x-y}=\frac{xy(x-y)}{x-y}=xy$

c) $\frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}=\frac{2x}{2x-y}-\frac{y}{2x-y}=\frac{2x-y}{2x-y}=1$

2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Thực hành 2: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$

b) $\frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}$

c) $\frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}=\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{3(a-3)}{(a+3)(a-3)}=\frac{a^{2}+3a-3a+9}{a^{2}-9}=\frac{a^{2}+9}{a^{2}-9}$

b) $\frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}+\frac{4}{2x^{2}}=\frac{x+4}{2x^{2}}$

c) $\frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}=\frac{4x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

$=\frac{4x-2x+2}{x(x-1)(x+1)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x(x-1)}$

Thực hành 3: Thực hiện phép tính: $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}$

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}$

$=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}-\frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}-xy+2xy-xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

Vận dụng: Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trang 31. Tính giá trị của các đại lượng này khi x = 6km/h

Hướng dẫn trả lời:

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{3}{x+1}$ (giờ)

Thời gian đi từ B đến A là $\frac{3}{x-1}$ (giờ)

Tổng thời gian đi và về là:

$\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x-3+3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6x}{x^{2}-1}$ (giờ)

Thay x = 6, ta có: $\frac{6.6}{6^{2}-1}=\frac{36}{35}$

Chênh lệch giữa thời gian đi và về là: 

$\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+3-3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6}{x^{2}-1}$ (giờ)

Thay x = 6, ta có $\frac{6}{6^{2}-1}=\frac{6}{35}$

BÀI TẬP

Bài 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}$

b) $\frac{b}{b-a}+\frac{a}{b-a}$

c) $\frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}=\frac{a-1+3-a}{a+1}=\frac{2}{a+1}$

b) $\frac{b}{b-a}+\frac{a}{b-a}=\frac{b}{a-b}+\frac{-a}{a-b}=\frac{b-a}{a-b}$

c) $\frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}=\frac{(a+b-a+b)(a+b+A-b)}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$

Bài 2: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$

b) $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}$

c) $\frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}$

d) $\frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}$

e) $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}=\frac{3b}{6ab}+\frac{4a}{6ab}=\frac{3b+4a}{6ab}$

b) $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)}$

$=\frac{(x-1)^{2}-(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1-x-1)(x-1+x+1)}{x-1}=\frac{4x}{(x+1)(x-1)}$

c) $\frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}=\frac{(x+y)z}{xyz}-\frac{(y+z)x}{xyz}=\frac{xz+yz-xy-xz}{xyz}=\frac{y(z-x)}{xyz}=\frac{z-x}{xz}$

d) $\frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2(x-3)}-\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{12}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{2x-6}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x+3}$

e) $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}=\frac{x-2}{(x-2)^{2}}+\frac{2}{(x-2)^{2}}=\frac{x-2+2}{(x-2)^{2}}=\frac{x}{(x-2)^{2}}$

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}$

b) $\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}$

c) $x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}=\frac{x+2-x+3-x+4}{x-1}=\frac{-x+9}{x-1}$

b) $\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}=\frac{x-5-x-5+2x}{x^{2}-25}=\frac{-10}{x^{2}-25}$

c) $x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y=\frac{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{x+y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$

Bài 4: Cùng đi từ A đến thành phố B cách nhau 450 km, xe khách chạy với tốc độ x (km/h); xe tải chạy với tốc độ y (km/h) (x>y). Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải bao nhiêu giờ?

Hướng dẫn trả lời:

Thời gian xe tải đi: $\frac{450}{y}$ (giờ)

Thời gian xe khách đi: $\frac{450}{x}$ (giờ)

Xe khách đến thành phố B sớm hơn $\frac{450}{y}-\frac{450}{x}=\frac{450(x-y)}{xy}$ (giờ)

Bài 5: Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được cho như Hình 2. Hình B và C có các kích thước giống nhau, hình A có cùng chiều rộng với B và C

a) Tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật. Biểu thị chúng bằng các phân thức cùng mẫu số.

b) Tính tổng chiều cao của hình A và C, chênh lệch chiều cao của hình A và B

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều cao hình B là: $\frac{b}{yz}=\frac{bx}{xyz}$ (cm)

Chiều cao hình A là: $\frac{a}{xz}=\frac{ay}{xyz}$ (cm)

Chiều cao hình C là: $\frac{bx}{xyz}$ (cm)

b) Tổng chiều cao hình A và C là: $\frac{bx}{xyz}+\frac{ay}{xyz}=\frac{bx+ay}{xyz}$ (cm)

Chênh lệch chiều cao của hình A và B là: $\frac{ay}{xyz}-\frac{bx}{xyz}=\frac{ay-bx}{xyz}$ (cm)