Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 CTST bài 6: Cộng, trừ phân thức

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Hoạt động 1 trang 31 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi...

Đáp án:

a) Chiều rộng của hình chữ nhật A là: $\frac{a}{x}(cm)$.

Chiều rộng của hình chữ nhật B là: $\frac{b}{x} (cm)$.

Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x} (cm)$.

b) Chiều rộng của hình chữ nhật B lớn hơn chiều rộng của hình chữ nhật A là: $\frac{b}{x} − \frac{a}{x}(cm)$.

Thực hành 1 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau...

Đáp án:

a) $\frac{x}{x+3} + \frac{2−x}{x+3} = \frac{x+2−x}{x+3} = \frac{2}{x+3}$

b) $\frac{x^2y}{x−y} − \frac{xy^2}{x−y} = \frac{x^2y−xy^2}{x−y} = \frac{xy(x−y)}{x−y} = xy$

c) $\frac{2x}{2x−y} + \frac{y}{y−2x} = \frac{2x}{2x−y} − \frac{y}{2x−y} = \frac{2x−y}{2x−y} = 1$

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU

Hoạt động 2 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hai phân thức A...

Đáp án:

a) Ta có: $\frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b).a}{ab.a} = \frac{a^2+ab}{a^2b}.$

Do đó đa thức thay vào $?$ là: $a^2 + ab$

Ta có: $\frac{a−b}{a^2} = \frac{(a−b).b}{a^2.b}$

 = $\frac{ab−b^2}{a^2b} = \frac{ab−b^2}{a^2b}$.

Do đó đa thức thay vào $?$ là: $ab − b^2$

b) $A + B = \frac{a+b}{ab} + \frac{a−b}{a^2}$

= $\frac{a^2+ab}{a^2b} + \frac{ab−b^2}{a^2b}$

= $\frac{a^2 + ab + ab − b^2}{a^2b}$

= $\frac{a^2+2ab−b^2}{a^2b}$

$A−B = \frac{a+b}{ab} − \frac{a−b}{a^2}$

= $\frac{a^2+ab}{a^2b} − \frac{ab−b^2}{a^2b}$

= $\frac{a^2+ab−ab+b^2}{a^2b}$

= $\frac{a^2+b^2}{a^2b}$

Thực hành 2 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau...

Đáp án:

a)$\frac{a}{a−3} − \frac{3}{a+3}$

= $\frac{a(a+3)}{(a−3)(a+3)}−\frac{3(a−3)}{(a+3)(a−3)}$

= $\frac{a^2+3a−3a+9}{a^2−9}$

= $\frac{a^2+9}{a^2−9}$

b) $\frac{1}{2x} + \frac{2}{x^2}$

= $\frac{x}{2x^2} + \frac{4}{2x^2} = \frac{x+4}{2x^2}$

c) $\frac{4}{x^2−1}− \frac{2}{x^2+x}$

= $\frac{4x}{x(x+1)(x−1)} − \frac{2(x−1)}{x(x−1)(x+1)}$

= $\frac{4x−2x+2}{x(x−1)(x+1)}$

= $\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x−1)} = \frac{2}{x(x−1)}$

Thực hành 3 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép tính...

Đáp án:

$\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^2−y^2}−\frac{y}{x+y}$

=$\frac{x(x−y)}{(x−y)(x+y)}+\frac{2xy}{(x−y)(x+y)}$ − $\frac{y(x−y)}{(x−y)(x+y)}$

= $\frac{x^2−xy+2xy−xy+y^2}{(x−y)(x+y)}$

= $\frac{x^2+y^2}{x^2−y^2}$

Vận dụng trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trang 31. Tính giá trị của các đại lượng này khi $x = 6km/h$

Đáp án:

Thời gian đi từ A đến B là: $\frac{3}{x+1}$ (giờ)

Thời gian đi từ B đến A là: $\frac{3}{x−1}$ (giờ)

Tổng thời gian đi và về là: $\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x−1}$

= $\frac{3(x−1)}{(x+1)(x−1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x−1)}$

= $\frac{3x−3+3x+3}{(x−1)(x+1)}$

= $\frac{6x}{x^2 - 1}$ (giờ)

Thay $x = 6$, ta có: $\frac{6×6}{6^2−1}= \frac{36}{35}$

Chênh lêch giữa thời gian đi và về là: 

$\frac{3}{x−1}−\frac{3}{x+1}$

= $\frac{3(x+1)}{(x+1)(x−1)}−\frac{3(x−1)}{(x+1)(x−1)}$

= $\frac{3x+3−3x+3}{(x−1)(x+1)}$

= $\frac{6}{x^2−1}$ (giờ)

Thay $x = 6$, ta có: $\frac{6}{6^2−1} = \frac{6}{35}$

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau..

Đáp án:

a) $\frac{a−1}{a+1}+\frac{3−a}{a+1}$

= $\frac{a−1+3−a}{a+1} = \frac{2}{a+1}$

b) $\frac{b}{a−b}+\frac{a}{b−a}$

= $\frac{−b}{b−a}+\frac{a}{b−a}$

= $\frac{−(b−a)}{b−a}= -1$

c) $\frac{(a+b)^2}{ab}−\frac{(a−b)^2}{ab}$

= $\frac{(a+b)^2−(a−b)^2}{ab}$

= $\frac{(a+b−a+b)(a+b+a−b)}{ab}$

= $\frac{4ab}{ab}= 4$

Bài tập 2 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau...

Đáp án:

a) $\frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$

= $\frac{3b}{6ab}+\frac{4a}{6ab}$

= $\frac{3b+4a}{6ab}$

b) $\frac{x−1}{x+1}−\frac{x+1}{x−1}$

= $\frac{(x−1)^2}{(x−1)(x+1)}− \frac{(x+1)^2}{(x−1)(x−1)}$

= $\frac{(x−1)^2-(x+1)^2}{(x+1)(x−1)}$

= $\frac{(x−1−x−1)(x−1+x+1)}{x−1}$

= $\frac{−4x}{(x−1)(x+1)}$

c) $\frac{x+y}{xy}−\frac{y+z}{yz}$

= $\frac{(x+y)z}{xyz}−\frac{(y+z)x}{xyz}$

= $\frac{xz+yz−xy−xz}{xyz}$ = $\frac{y(z−x)}{xyz}$

= $\frac{z−x}{xz}$

d) $\frac{2}{x−3}−\frac{12}{x^2−9}$

= $\frac{2(x+3)}{(x−3)(x−3)} − \frac{12}{(x−3)(x+3)}$

= $\frac{2x+6−12}{(x−3)(x+3)}$

= $\frac{2x−6}{(x+3)(x−3)}$

 = $\frac{2(x−3)}{(x−3)(x+3)} = \frac{2}{x+3}$

e) $\frac{1}{x−2} + {2}{x^2−4x+4}$ 

= $\frac{x−2}{(x−2)^2}+\frac{2}{(x−2)^2}$

= $\frac{x−2+2}{(x−2)^2} = \frac{x}{(x−2)^2}$

Bài tập 3 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Thực hiện các phép tính sau...

Đáp án:

a) $\frac{x+2}{x−1}−\frac{x−3}{x−1}+\frac{x+4}{1−x}$

= $\frac{x+2−x+3−x+4}{x−1} = \frac{−x+9}{x−1}$

b) $\frac{1}{x+5}−\frac{1}{x−5}+\frac{2x}{x^2−25}$

= $\frac{x−5−x−5+2x}{(x−5)(x+5)}$

= $\frac{2x−10}{(x+5)(x−5)} = \frac{2(x−5)}{(x+5)(x−5)}$

= $\frac{2}{x+5}$

c) $x+\frac{2y^2}{x+y}−y$

= $\frac{x^2−y^2+2y^2}{x+y}$

= $\frac{x^2+y^2}{2x+y}$

Bài tập 4 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cùng đi từ A đến thành phố B cách nhau 450 km...

Đáp án:

Thời gian xe tải đi: $450y$ (giờ)

Thời gian xe khách đi: $450x$ (giờ)

Xe khách đến thành phố B sớm hơn:

$\frac{450}{y}−\frac{450}{x}$

= $\frac{450(x−y)}{xy}$ (giờ)

Bài tập 5 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được...

Đáp án:

a)Chiều cao hình B là: $\frac{b}{yz}= \frac{bx}{xyz} (cm)$

Chiều cao hình A là: $\frac{a}{xz} = \frac{ay}{xyz} (cm)$

Chiều cao hình C là: $\frac{bx}{xyz} (cm)$

b) Tổng chiều cao hình A và C là: $\frac{bx}{xyz}+\frac{ay}{xyz}$ = $\frac{bx+ay}{xyz} (cm)$

Chênh lệch chiều cao của hình A và B là: $\frac{ay}{xyz}−\frac{bx}{xyz} = \frac{ ay−bx}{xyz} (cm)$