Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 CTST bài 5: Phân thức đại số

1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Hoạt động 1 trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Viết biểu thức biểu thị các đại lượng sau đây:

Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng $3m^2$

Thời gian để một người thợ làm được x sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người thợ đó làm được y sản phẩm.

Năng suất trung bình của một mảnh ruộng gồm hai thửa, một thửa có diện tích a (ha) cho thu hoạch được m tấn lúa, thửa kia có diện tích b (ha) cho thu hoạch n tấn lúa.

Các biểu thức trên có đặc điểm nào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?

Đáp án

a) Chiều rộng hình chữ nhật : $\frac{3}{a} (m)$

Thời gian làm x sản phẩm : $\frac{x}{y}$  (giờ)

Năng suất trung bình của mảnh ruộng : $\frac{m + n}{a + b}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều có dạng $\frac{A}{B}$  ($A$ và $B$ là đa thức, $B ≠ 0$) 

Chúng không phải là đa thức. 

Hoạt động 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho biểu thức $P = \frac{x^2 - 1}{2x + 1}$

a) Tính giá trị của biểu thức tại $x = 0$.

b) Tại $-\frac{1}{2}$, giá trị của biểu thức có xác định không? Tại sao?

Đáp án

a) Tại $x = 0$, ta có: $P = \frac{0^2 - 1}{2.0 +1} = \frac{-1}{1}$ 

b) Tại $-\frac{1}{2}$ mẫu thức có giá trị $= 2.(-\frac{1}{2}) + 1 = 0$

Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.

Thực hành 1 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm giá trị của phân thức...

Đáp án:

a) ĐKXĐ  $x ≠ -2$ 

Tại $x = −3$ (thỏa mãn ĐKXĐ), ta có: $\frac{(-3)^2 - 2 . (-3) + 1}{ -3 + 2} = -16$.

Tại $x =1$ ( thỏa mãn ĐKXĐ), ta có: $\frac{1^2 - 2.1 + 1}{1 + 2} = 0$

b) ĐKXĐ : $x ≠ -y$

Tại $x = 3, y = -1$ (thỏa mãn ĐKXĐ), ta có: 

$\frac{3.(-1) - 3.(-1)^2}{3 + (-1)} = -3$

Thực hành 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức...

Đáp án:

a) Phân thức xác định khi $a + 4 ≠0$ hay $a ≠ −4$.

b) Phân thức xác định khi $x − 2y ≠ 0$ (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn $x – 2y ≠ 0$).

Vận dụng trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức: 

$C(x)= \frac{0,0002x^2 + 12x + 1000}{x}$, trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi $x = 100; x = 1000$

Đáp án:

Tại $x = 100, C = \frac{0,0002.100^2 + 12.100 + 1000}{100} = 130,02$ (nghìn đồng)

Tại $x = 1000, C = \frac{0,0002.1000^2 + 12.1000 + 1000}{1000} = 121,2$ (nghìn đồng)

2. HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

Hoạt động 3 trang 28 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Xét hai phân thức $M = \frac{x}{y}$ và $N = \frac{x^2 - x}{ xy - y}$

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi $x = 3, y = 2$ và khi $x = ‒1, y = 5$.

Nêu nhận xét về giá trị của M và N khi cho x và y nhận những giá trị nào đó ($y ≠ 0$ và $xy – y ≠ 0$).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được

Đáp án:

a) Khi $x = 3$ và $y = 2$ ta có:

$N = \frac{3^2 - 3}{3.2 - 2} = \frac{9 - 3}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$                 

 Khi $x = ‒1$ và $y = 5$ ta có:

$\frac{(-1)^2 - (-1)}{(-1).5 - 5} = \frac{1 + 1}{-5 - 5} = \frac{2}{-10} = \frac{-1}{5}$              .

Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn $y ≠ 0$ và $xy – y ≠ 0$.

b) Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:

$x.(xy – y) = x^2y – xy$.

Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:

$(x^2 – x).y = x^2y – xy$.

Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức $x^2y – xy$ nên hai đa thức nhận được bằng nhau.

Thực hành 3 trang 28 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không...

Đáp án:

a) Ta có: $(xy^2)(x+1) = x^2y^2 + xy^2 = xy(xy+y)$

Vậy $(xy^2)(x+1) = xy(xy+y)$

Do đó $\frac{xy^2}{xy+y} = \frac{xy}{x + 1}$.

b) Ta có: $(xy − y)y = xy^2 − y^2$

$x(xy−x) = x^2y − x^2$

Do $xy^2 − y^2 ≠ x^2y − x^2$ hay $(xy − y)y ≠ x(xy − x)$

Vậy $\frac{xy − y}{x} ≠ \frac{xy − x}{y}$

3. TÍNH CHẤT CỦA CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Hoạt động 4 trang 28 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Xét các phân thức P...

Đáp án:

a) Xét hai phân thức $P = \frac{x^2y}{xy^2}$ và $Q = \frac{x}{y}$ ta có:

$x^2y . y = x^2y^2$

$xy^2 . x = x^2y^2$

Do đó $x^2y . y = xy^2 . x$

Vậy $\frac{x^2y}{xy^2} = \frac{x}{y}$ hay $P=Q$ (1)

Xét hai phân thức $Q = \frac{x}{y}$ và $R = \frac{x^2 + xy}{xyy^2}$ ta có:

$x . (xy + y^2) = x^2y + xy^2$

$y . (x^2+xy) = x^2y+xy^2$

Do đó $x . (xy + y^2) = y.(x^2 + xy)$

Vậy $\frac{x}{y} = \frac{x^2 + xy}{xy + y^2}$, hay $Q = R$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $P = Q = R$

Vậy các phân thức P, Q, R bằng nhau

b) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q = \frac{x}{y}$ với cùng đơn thức $xy$ khác đa thức không thì được:

Ta có: $Q = \frac{x}{y} = \frac{x . xy}{y . xy} = \frac{x^2y}{xy^2} = P$

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là $(x + y)$ thì được:

$R = \frac{x^2 + xy}{xy + y^2}$ = $\frac{x(x+y)}{y(x+y)}$ = $\frac{[x(x+y)]:(x+y)}{[y(x+y)]:(x+y)}$

Thực hành 4 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Chứng tỏ hai phân thức...

Đáp án:

Cách 1 :  Ta có $(a^2b + ab^2)(a − b) = a^3b + a^2b^2 − a^2b^2 − ab^3 $

$= a^3b − ab^3 = ab(a^2 − b^2)$

Do đó $(a^2 − b^2)ab = (a^2 + ab^2)(a−b)$

Vậy $\frac{a^2 − b^2}{a^2b + ab^2} = \frac{a − b}{ab}$.

Cách 2: $\frac{a^2 − b^2}{a^2b + ab^2} = \frac{(a+b)(a−b)}{(ab(a+b)}$

= $\frac{a−b}{ab}$

Vậy $\frac{a^2 − b^2}{a^2b + ab^2} = \frac{a−b}{ab}$

Thực hành 5 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Rút gọn các phân thức sau...

Đáp án:

a) $\frac{3x^2 + 6xy}{6x^2} = \frac{3x(x+2y)}{6x^2} = \frac{x+2y}{2x}$

b) $\frac{2x^2 − x^3}{x^2 − 4} = \frac{−x^2(x−2)}{(x−2)(x+2)}$

$= \frac{−x^2}{x+2}$

c) $\frac{x+1}{x^3+1} = \frac{x+1}{(x+1)(x^2 − x +1)}= \frac{1}{x^2−x+1}$

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức...

Đáp án:

Phân thức là : $\frac{3x + 1}{2x-1}; 2x^2 - 5x +3$

Bài tập 2 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết điều kiện xác định của các phân thức sau...

Đáp án:

a) Phân thức xác định khi $x − 6 ≠ 0$ hay $x ≠ 6$

b) Phân thức xác định khi $x + 3y ≠ 0$ (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn $x + 3y ≠ 0$).

c) Phân thức xác định với mọi $x ∈ R$.

Bài tập 3 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm giá trị của phân thức...

Đáp án:

a) Điều kiện xác định của phân thức A là $(x + 1)^2 ≠ 0$, hay $x + 1 ≠ 0$, do đó $x ≠ –1$.

Tại $x = −4, A = \frac{3×(−4)^2+3×(−4)}{(−4)^2 + 2×(−4) + 1} = 4$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là $a^2 – b^2 ≠ 0$ (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn $a^2 – b^2 ≠ 0$).

Tại $a = 4, b = −2, B = \frac{4×(−2)−(−2)^2}{4^2−(−2)^2} = −1$

Bài tập 4 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không...

Đáp án:

a) $\frac{3ac}{a^3b} = \frac{3c}{a^2b}$

$\frac{6c}{2a^2b} = \frac{3c}{a^2b}$

Do đó: $\frac{3ac}{a^3b} = \frac{6c}{2a^2b}$

b) $\frac{3ab−3b^2}{6b^2} = \frac{3b(a−b)}{3b(2b)} = \frac{a−b}{2b}$

Do đó $\frac{3ab−3b^2}{6b^2} = \frac{a−b}{2b}$.

Bài tập 5 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm đa thức thích hợp thay vào...

Đáp án:

a) $\frac{2x+1}{x−1} = \frac{(2x+1)(x+1)}{(x−1)(x+1)}$

= $\frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 − 1}$

Đa thức cần tìm là: $2x^2 + 3x + 1$

b) $\frac{x^2 + 2x}{x^3 + 8}= \frac{x(x+2)}{(x+2)(x^2 − 2x + 4}$

$= \frac{x}{x^2 − 2x + 4}$

Đa thức cần tìm là x

Bài tập 6 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Rút gọn các phân thức sau...

Đáp án:

a) $\frac{3x^2y}{2xy^5} = \frac{3x}{2y^4}$

b) $\frac{3x^2 − 3x}{x−1}= \frac{3x(x−1)}{(x−1)} = 3x$

c) $\frac{ab^2 − a^2b}{2a^2 + a}$

= $\frac{a(b^2 − ab)}{a(2a+1)}$ 

= $\frac{b^2 − ab}{2a + 1}$

d) $\frac{12(x^4−1)}{18(x^2−1)}$

= $\frac{12(x^2 − 1)(x^2 + 1)}{18(x^2 − 1)}$

= $\frac{2(x^2+1)}{3}$