Giải chi tiết Toán 9 Cánh diều bài 1: Bất đẳng thức

Bài làm chi tiết mở đầu: Tìm hiểu trên Internet, bạn Châu được biết một con voi nặng khoảng 5000 kg, một con hổ nặng khoảng 200 kg, một con tê giác đen nặng khoảng 450 kg.

Để biểu thị con voi nặng hơn cả con hổ và con tê giác đen, bạn Châu đã viết:

5000 > 200 + 450.

Hệ thức dạng 5000 > 200 + 450 gợi nên khái niệm gì trong toán học?

Bài làm chi tiết: 

Từ hệ thức dạng 5000 > 200 + 450 đề bài cho, gợi nên khái niệm bất đẳng thức trong toán học.

I. NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP SỐ THỰC

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 1 trang 29 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

So sánh:

b) .

Bài làm chi tiết:

a) Ta có:

b) Ta có .

Do

II. BẤT ĐẲNG THỨC

Bài làm chi tiết 1 trang 29 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Viết hệ thức thể hiện số thực a lớn hơn số thực b.

Bài làm chi tiết:

Ta có hệ thức thể hiện số thực a lớn hơn số thực b: a > b

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 2 trang 30 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hãy viết hai cặp bất đẳng thức cùng chiều.

Bài làm chi tiết:

Hai cặp bất đẳng thức cùng chiều là: 

4 < 7 và 15 < 19.

Bài làm chi tiết 2 trang 30 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho bất đẳng thức 15 > 14. Hãy so sánh hiệu 15 – 14 và 0.

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có: 15 – 14 = 1

Ta có 1 > 0 nên 15 – 14 > 0

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 3 trang 30 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho a 2b. Chứng minh:

a)

b)

Bài làm chi tiết:

Ta có: a

a)

Ta có:

b) Xét hiệu:

Vậy

Bài làm chi tiết 3 trang 30 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho bất đẳng thức a > b và cho số thực c. 

a) Xác định dấu của hiệu: (a + c) – (b + c).

b) Hãy so sánh: a + c và b + c.

Bài làm chi tiết:

a)Theo đề bài ta có: a > b nên a – b > 0 hay b – a < 0

a) (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a + b > 0 

b) a > b nên a + c > b + c

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 4 trang 31 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chứng minh:

a) ;

b)

Bài làm chi tiết:

a) Ta so sánh ;

b)

Suy ra

Vậy

Bài làm chi tiết 4 trang 31 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho bất đẳng thức a > b và số thực c > 0.

a) Xác định dấu của hiệu: ac – bc.

b) Hãy so sánh: ac và bc.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có hiệu như sau: ac – bc = (a – b)c

Mà a > b nên a – b > 0, c > 0 nên (a – b)c > 0 

Hay ac – bc > 0.

b) Vì a > b và c > 0 

Nên ac > bc.

Bài làm chi tiếtLuyện tập, vận dụng 5 trang 31 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho a

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có: a b 

Nên

Vậy 5b – 2 5a – 2.

Bài làm chi tiết 5 trang 32 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho bất đẳng thức a > b và số thực c < 0.

a) Xác định dấu của hiệu: ac – bc.

b) Hãy so sánh: ac và bc.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có hiệu sau:

ac – bc = (a – b)c

Mà a > b 

Nên a – b > 0, c < 0 

Nên (a – b)c < 0 

Hay ac – bc < 0.

b) Vì a > b và c < 0 

Nên ac < bc.

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 6 trang 32 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có:

Ta có

Do           

Mà a – 1 < a + 1                       

Nên

Hay  

Bài làm chi tiết 6 trang 32 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho các bất đẳng thức a > b và b > c.

a) Xác định dấu của các hiệu: a – b, b – c, a – c.

b) Hãy so sánh: a và c.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có: a > b 

Nên a – b > 0;

Lại có: b > c nên b – c > 0;

a – c = (a – b) + (b – c). Vì cả hai hiệu a – b và b – c đều > 0 nên a – c > 0.

b) a > c

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 7 trang 32 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a > b và c > d. 

Chứng minh: ac > bd.

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có: a > b 

Nên ac > bc  (1)

Mà c > d 

Nên bc > bd (2)

Từ (1) và (2) ta có: ac > bd.

III. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài làm chi tiết bài 1 trang 33 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chứng minh:

a)

b) 26,2 < 2a +3,2 < 26,4 với 11,5 < a < 11,6.

Bài làm chi tiết:

a)Ta có:

b) Với 11,5 < a < 11,6

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2, ta có:

23 < 2a < 23,2 

Cộng cả hai vế với 3,2 ta được

23 + 3,2 < 2a + 3,2 < 23,2 + 3,2

Hay 26,2 < 2a + 3,2 < 26,4.

Bài làm chi tiết bài 2 trang 34 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chứng minh 

a) 2m + 4 > 2n + 3 với m > n;

b) – 3a + 5 > – 3b + 5 với a < b.

Bài làm chi tiết: 

a) Ta có: m > n 

Nên 2m > 2n 

2m + 4 > 2n + 4 

Mà 2n + 4 > 2n + 3

Suy ra 2m + 4 > 2n + 3

b) a < b và – 3 < 0 

Nên – 3a > – 3b 

Ta được: – 3a + 5 > – 3b + 5

Bài làm chi tiết bài 3 trang 34 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

a) Cho a > b > 0. Chứng minh:

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh:

Bài làm chi tiết:

a) Theo đề bài ta có: a > b > 0, 

Giả sử . 

Ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức với ab (một giá trị dương) mà không làm thay đổi hướng của bất đẳng thức.

=> 

Rút gọn ta được:

b < a 

Hay a > b (đúng với giả thiết ban đầu) 

Vậy

b) Do

Vậy .

Bài làm chi tiết bài 4 trang 34 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chứng minh:

Bài làm chi tiết:

Khải triển đẳng thức trên, ta có:

=>

Bài làm chi tiết bài 5 trang 34 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là 0,05% nghĩa là có 50 mg rượu trong 100 ml máu. Càng uống nhiều rượu thì nồng độ cồng trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối với người điều khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tam gia giao thông như sau:

Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: y = 0,076 – 0,008t, trong đó y được tính theo đơn vị % và t là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức nào?

Bài làm chi tiết:

Giả sử gọi nồng độ cồng trong máu là x

Mức độ 1: 0 < x 50 mg/100 ml máu

Mức độ 2: 50 mg/100 ml máu < x  80 mg/100 ml máu

Mức độ 3: x > 80 mg/100 ml máu   

Nồng độ cồn trong máu một người sau khi uống rượu 3 giờ là:

y = 0,076 – 0,008t 

Thay t = 3

y = 0,076 – 0,008.3 = 0,052

0,052 tương ứng 0,052% hay 52mg/ ml máu

Người này sẽ bị xử phạt ở mức độ 2