Giải chi tiết Toán 9 Cánh diều bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Mở đầu: Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình gì và diện tích của hình đó được tính như thế nào?

Bài làm chi tiết:

- Qua quan sát hình đề bài cho, hình phẳng được mô tả là hình quạt.

- Diện tích hình quạt: 

Trong đó, R: bán kính; n: số đo góc ở tâm.

I. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Bài làm chi tiết 1 trang 118 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Lấy một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 66a), cắt vòng dây và kéo thẳng vòng dây đó để nhận được sợi dây như ở Hình 66b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

Bài làm chi tiết:

Ta có: chiều dài sợi dây bằng chu vi của đường tròn.

Ta thừa nhận kết quả: 

Tỉ số giữa chu vi C của mỗi đường tròn và đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là . 

Số là số vô tỉ, cụ thể: = 3,1415... 

Trong các ví dụ và bài tập toán sau này, ta lấy 3,14.

- Chu vi của đường tròn đường kính d là C =

- Chu vi của đường tròn bán kính R là C =

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 1 trang 118 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm theo đơn vị centimét.

Bài làm chi tiết:

Đường tròn có chu vi là:

(cm)

Vậy chu vi của đường tròn là 31,42 cm.

Bài làm chi tiết 2 trang 119 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

a) Đánh dấu hai điểm A, B trên một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 67a), cắt cung AB của vòng dây và kéo thẳng cung đó để nhận được sợi dây như ở Hình 67b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

b) Ta coi mỗi đường tròn bán kính R là một cung tròn có số đo 360^o. Chia đường tròn đó thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là cung tròn có số đo bằng 1^o; chu vi của đường tròn khi đó cũng được chia thành 360 phần bằng nhau. Tính theo R:

- Độ dài của cung tròn có số đo 1^o;

- Độ dài của cung tròn có số đo n^o.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có: chiều dài sợi dây bằng độ dài của cung tròn AB.

b) Công thức tính chu vi hình tròn là: 

Độ dài cung tròn số đo 1^o là:

Độ dài cung tròn số đo n^o là:

 Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 2 trang 119 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (Hình 69). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc .

Bài làm chi tiết:

Xét hình vẽ đã cho, ta có: ; OA = l.

Độ dài cung AB là:

II. DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRÒN

Bài làm chi tiết 3 trang 119 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Vẽ đường tròn (O; 2cm) và các điểm A,B thỏa mãn OA < 2 cm, OB = 2 cm. Nêu nhận xét về vị trí của các điểm A, B so với đường tròn (O; 2 cm).

Bài làm chi tiết:

Quan sát hình, ta có nhận xét như sau:

- Điểm B nằm trên đường tròn tâm O.

- Điểm A nằm bên trong đường tròn tâm O.

Bài làm chi tiết 4 trang 120 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào? 

Bài làm chi tiết:

Quan sát hình, phần tô đậm mà xanh được giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung AmB.

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 3 trang 120 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hình quạt tròn COD giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung CqD sao cho OC = CD (Hình 74). Hãy tìm số đo cung CqD ứng với hình quạt đó.

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài, ta có OC = CD (giả thiết) 

Mà OC = OD = R 

OC = OD = CD

OCD đều mà là góc ở tâm 

.

Số đo cung CqD = 360^o – số đo cung CD = 360^o – 60^o = 240^o.

Bài làm chi tiết 5 trang 120 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Ta coi mỗi hình tròn bán kính R là một hình quạt có số đo 360^o. Tính diện tích hình quạt tâm O, bán kính R, biết số đo cung ứng với hính quạt đó là:

a) 1^o;                              b) n^o (Hình 75)

Bài làm chi tiết:

Ta có công thức tính diện tích hình tròn là: S = R²

a) Diện tích hình quạt ứng với số đo cung 1^o là:

b) Diện tích hình quạt ứng với số đo cung n^o là:

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 4 trang 121 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150^o.

a) Tính diện tích hình quạt đó.

b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.

Bài làm chi tiết:

a) Hình quạt đã cho có diện tích là: dm 

b) Chiều dài cung tương ứng là: dm 

III. DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHUYÊN

Bài làm chi tiết 6 trang 122 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

a) Hình 80 mô tả một phần bản vẽ của chi tiết máy. Hình đó giới hạn bởi mấy đường tròn cùng tâm?

b) Hãy vẽ một hình tương tự Hình 80 bằng cách vẽ các đường tròn (O; 2 cm) và (O; 3 cm). Tính hiệu diện tích hai đường tròn đó.

Bài làm chi tiết:

a) Quan sát hình đã cho, ta thấy hình bị giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm.

b) 

Diện tích đường tròn bán kính 3 cm là: 

(cm²).

Diện tích đường tròn bán kính 2 cm là: 

(cm²).

Hiệu diện tích hai đường tròn là:

(cm²).

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 5 trang 122 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm.

Bài làm chi tiết:

Đường tròn bán kính 2,5 cm có diện tích là: 

(cm²).

Diện tích đường tròn bán kính 2 cm là: (cm²).

Hiệu diện tích hai đường tròn là:

(cm²).

IV. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài làm chi tiết bài 1 trang 122 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.

a) Tính diện tích phần được tô màu trong mỗi hình đó.

b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.

Bài làm chi tiết:

a) Trong Hình 83 diện tích phần hình được tô màu là:

(cm²)

- Diện tích phần tô màu trắng trong Hình 84 là:

(cm²)

Diện tích phần tô màu trong Hình 84 là:

(cm²)

- Diện tích đường tròn to là: (cm²)

Diện tích đường nhỏ to là: (cm²)

Diện tích phần tô màu trong Hình 85 là: 1809,56 – 113,1 = 1696,46 (cm²).

- Bán kính đường tròn to là: 19.2 = 38 (cm)

Diện tích nửa đường tròn to là: (cm²)

Diện tích nửa đường tròn nhỏ là: (cm²)

Diện tích phần tô màu trong Hình 86 là: 2268,23 – 567,06 = 1701,17 (cm²).

b) 

Hình 83: Độ dài cung tròn được tô màu là:

Hình 84: Độ dài cung tròn được tô màu là:

Bài làm chi tiết bài 2 trang 123 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 87 mô tả mặt cắt của một chiếc đèn led có dạng hai hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hai hình vành khuyên đó.

Bài làm chi tiết:

Hình tròn bán kính 15 cm có diện tích là:

cm²

Hình tròn bán kính 18 cm có diện tích là:

cm²

Vành khuyên thứ nhất có diện tích là:

cm²

Hình tròn bán kính 21 cm có diện tích là:

cm²

Diện tích hình tròn bán kính 18 cm là:

cm²

Diện tích vành khuyên thứ nhất là:

cm²

Bài làm chi tiết bài 3 trang 123 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 88 mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn bán kính 2 cm (Hình 88a); hai hình chữ nhật kích thước 2 cm 8 cm (Hình 88b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm (Hình 88c). Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.

Bài làm chi tiết:

Hai nửa hình tròn có diện tích là:

(cm²)

Hai hình chữ nhật có diện tích là: 

(cm²)

Diện tích một phần tư vành khuyên là:

(cm²)

Diện tích mặt cắt khung gỗ là:

(cm²).

Bài làm chi tiết bài 4 trang 123 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giá  vuông OAE, ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.

a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48 cm, 1 in = 2,54 cm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Cần phải biết những kích thước vào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?

Bài làm chi tiết:

Đổi 3 ft = 91,44 cm

6 in = 15,24 cm

a) Nêm cong trong hình có diện tích là:

(cm²)

b) Diện tích nêm góc = diện tích hai tam giác – diện tích hình quạt tròn OBC

Muốn tính diện tích nêm góc, cần phải biết

- Độ dài AE, OB.

- Số đo góc BOC.