Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 83 sgk toán 9 tập 1 ctst

Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn O trong mỗi hình sau

Bài làm chi tiết:

a) Đường thẳng a không tiếp xúc với đường tròn (O)

b) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 1 điểm

c) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm

Giải chi tiết thực hành 1 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (J; 5 cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 4 cm;

b) d = 5 cm;

c) d = 6 cm.

Bài làm chi tiết:

a) Vì d = 4 cm < 5 cm => c cắt (J), c là cát tuyến của đường tròn (J)

b) Vì d = 5 cm => c là tiếp tuyến của (J)

d) Vì 6 = 6 cm > 5 cm => c và (J) không giao nhau

Giải chi tiết vận dụng 1 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 72 cm, tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Bài làm chi tiết:

Ta có đường kính bánh xe là 72 cm

=> Bán kính bánh xe là 72 / 2 = 36 cm

=> Khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp là 36 cm

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A).

a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R.

b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.

Bài làm chi tiết:

a) Vì A là một điểm nằm trên đường tròn O => OA = R

Xét tam giác OAM vuông tại A => OM là cạnh huyền và OM > OA 

=> OM > R

b) Đường thẳng d đã được xác định là vuông góc với OA tại điểm A. Vì vậy, đường thẳng d không thể cắt đường tròn (O; R) tại một điểm khác ngoài A.

Giải chi tiết thực hành 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Tìm tiếp tuyển của đường tròn (A; AH). (Hình 8) tại H

Bài làm chi tiết:

=> Từ hình ta có CB là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)

Giải chi tiết vận dụng 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 ctst

Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợ dây là tiếp tuyển của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm

Bài làm chi tiết:

Các tiếp điểm chính là các điểm của bánh xe đang tiếp xúc trực tiếp với sợi dây

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Giải chi tiết hoạt động 3 trang 87 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có OB = R và OC = R

Xét 2 tam giác vuông OAB và OCA ta có

OB = OC

OA trùng nhau

=> Tam giác OAB = tam giác OCA

b) AB = AC (từ ý a)

OB = OC

BOA = COA 

CAO = BAO

ABO = ACO

Giải chi tiết thực hành 3 trang 87 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết EMF = 60^o

a) Tính số đo EMI và EIF

b) Tính độ dài MI

Bài làm chi tiết:

a) Ta có EMI và EIF = EMF/2 = 60^o/2 = 30^o

b) Ta có ME = OE.cot 30^o

=> ME = 6. cot 30^o = 6 cm

Mà MI =

Giải chi tiết thực hành 4 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tìm giá trị của x trong Hình 12

Bài làm chi tiết:

4x – 9 = 15

=> 4x = 24

=> x = 6

Giải chi tiết vận dụng 3 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình 13). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo AMB tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo AOB (kết quả làm tròn đến phút).

Bài làm chi tiết:

a) Xét tam giác OAM vuông tại O ta có: MA² = MO² – OA² 

=>

Lại có MB = MA => MB =

b) Xét tam giác OAM vuông tại A có:

tan OMA = OA / AM

=> tan OMA = 15 /

=> OAM = 25^o22’

Mà AMB = 2OAM

=> AMB = 50^o44’

Ta có MOA = 180^o – OAM – OMA = 180^o – 90^o – 25^o22’

=> MOA = 64^o38’

Mà AOB = 2MOA

=> AOB = 129^o16’

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 14, MB, MC lần lượt là tiếp tuyển của đường tròn (O) tại B, C; COB = 130^o. Tính số đo CMB.

Bài làm chi tiết:

Có COM = COB / 2 = 130^o / 2 = 65^o

=> OMC = 180^o – OCM – COM = 180^o – 90^o – 65^o = 25^o

Mà CMB = 2OMC 

=> CMB = 50^o

Giải chi tiết bài 2 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Quan sát Hình 15. Biết AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x

Bài làm chi tiết:

Ta có: 7x – 4 = 3x + 8

=> 7x – 3x = 8 + 4

=> 4x = 12

=> x = 3

Giải chi tiết bài 3 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 16, AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài làm chi tiết:

Ta có: AC² = 225

CB² + AB² = 225

=> Tam giác ABC vuông tại B

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn  (O; OB)

Giải chi tiết bài 4 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có đường tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM = 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm (HÌnh 17). Tính chu vi tam giác ABC

Bài làm chi tiết:

Ta có MB = BP

=> MP 3 cm

=> AB = 6 + 3 = 9 cm

Lại có AE = AM 

=> AE = 6 cm

=> AC = 8 + 6 = 14 cm

Mà PC = EC

=> PC = 8 cm

=> BC = 8 + 3 = 11 cm

Vậy chu vi tam giác ABC là: 9 + 14 + 11 = 34 cm

Giải chi tiết bài 5 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) ACB có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của COA;

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Bài làm chi tiết:

a) Chứng minh ACB có số đo bằng 90°:

Ta có:

- AI = IC (vì I là trung điểm của AC)

- OA = OC = R (vì là bán kính của đường tròn)

Do đó, tam giác AIO và CIO là tam giác cân tại I.

Vậy, góc AIC = góc CIB, và góc AIO = góc CIO.

Từ đó, ta thấy rằng tổng của góc AIC và góc CIO bằng 180°.

Nhưng góc AIO = góc CIO = 90° (vì tiếp tuyến Ax cắt đường tròn tại góc vuông).

Vậy, góc ACB có số đo bằng 90°.

Độ dài của BC theo R:

Khi AC = R, theo định lý Pythagoras, ta có

Với \(AC = R\) và \(AB = 2R\) (vì AB là đường kính của đường tròn), ta có:

b) Chứng minh OM là tia phân giác của COA:

Vì I là trung điểm của AC, nên OI là tia phân giác của góc COA (vì tam giác AOC là tam giác đều, I nằm trên đường trung bình của góc COA).

Vì vậy, OM cũng là tia phân giác của COA.

c) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R):

Vì OM là tia phân giác của góc COA và OI là tia phân giác của góc COA, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có   

Vì OI là đường trung tuyến của tam giác AOC (vì I là trung điểm của AC), nên theo định lý Euclid, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Giải chi tiết bài 6 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.

a) Tính độ dài của MA và MB.

b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài của CD.

Bài làm chi tiết:

a) 

Vì hai tiếp tuyến MA và MB vuông góc với nhau tại M, theo tính chất của tiếp tuyến và đường tròn, ta có:

- OA = OB = R (bán kính của đường tròn)

- MA = MB = R (vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn)

Vậy, độ dài của MA và MB đều bằng bán kính của đường tròn, tức là 5 cm.

b) 

Giả sử I là giao điểm của đoạn thẳng MO và đường tròn (O).

Vì O là tâm của đường tròn => đoạn MO là đoạn trung tuyến của tam giác OAD

=> IO là đường phân giác của góc AOD.

=> góc AIO và góc DIO là bằng nhau, tức là  .

Vì góc ở trung điểm góc nhỏ gấp đôi góc ở đỉnh của tam giác, ta có

Vậy,

Do đó, CD là đường tiếp tuyến tại O và góc AOC là góc tròn, vì vậy CD cũng là đường kính của đường tròn.

Vậy, độ dài của CD là bằng đường kính của đường tròn, tức là  cm.

Giải chi tiết bài 7 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm) thoả mãn AMB = 60°. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.

Bài làm chi tiết:

Giả sử R là bán kính của đường tròn (O). 

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn, nên MA = MB = R.

Xét tam giác MAB, theo điều kiện cạnh - góc - cạnh, ta có thể sử dụng công thức sin để tính độ dài cạnh còn lại:

Với ta có:

Theo định lý cosin trong tam giác vuông MAB:

Vì MA = MB = R và , ta có:

AB = R 

• AB = R .

Có chu vi của tam giác MAB là 18 cm

• MA + MB + AB = 18

=> 2R + R = 18 

=> 3R = 18 

=> R = 6 

Vậy, độ dài của dây AB cũng chính là bán kính của đường tròn, tức là \( AB = 6 \) cm.

Giải chi tiết bài 8 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 18, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

a) Tính bán kính r của đường tròn (O).

b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO.

Bài làm chi tiết:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

OB² + AB² = OA²

=> OB² = OA² – AB²

=> r² = (r + 2)² – 4²

=> r² = r² + 2.2.r + 4 – 4²

=> r² – r² – 4r = -12

=> -4r = -12

=> r = 3

Vậy bán kính r của đường tròn (O) = 3 cm

b) OA = r +  2 = 3 + 2 = 5