Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

1. GÓC Ở TÂM

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 90 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai điểm A, B trên đường tròn (O; R). Nêu nhận xét về đỉnh và cạnh của AOB.

Bài làm chi tiết:

Vì A, B nằm trên đường tròn (O; R)

• OA = OB = R

Đỉnh trùng với tâm O của đường tròn

Giải chi tiết thực hành 1 trang 90 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tính số đo góc ở tâm EOA và AOB trong Hình 3. Biết AC và BE là 2 đường kính của đường tròn (O)

Bài làm chi tiết:

Ta có EOA = COB = 57^o

Ta có AOB = 360^o – COB – AOE – DOE – COB = 360^o – 57^o – 57^o – 28^o – 95^o = 123^o

Giải chi tiết vận dụng 1 trang 91 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tính số đo góc ở tâm được tạo thành khi kim giờ quay:

a) Từ 7 giờ đến 9 giờ

b) Từ 9 giờ đến 12 giờ

Bài làm chi tiết:

a) 60^o

b) 90^o

2. CUNG, SỐ ĐO CUNG

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 91 sgk toán 9 tập 1 ctst

Vẽ vào vở đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên (O). Dùng bút chì khác màu tô hai phần của đường tròn được bân chia bởi 2 điểm A và B

Bài làm chi tiết:

Giải chi tiết hoạt động 3 trang 91 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho OA và OB là hai bán kính vuông góc với nhau của đường tròn (O), C là điểm trên cung nhỏ AB (Hình 7). Ta coi số đo của một cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

a) Xác định số đo của cung AB.

b) So sánh số đo của hai cung AC và AB.

Bài làm chi tiết:

a) Số đo cung AB là 90^o

b) AC < AB

Giải chi tiết thực hành 2 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau (Hình 9). Xác định số đo của các cung AB, AC và AD.

Bài làm chi tiết:

Số đo cung AB là 90^o

Số đo cung AC là 90^o

Số đo cung AD là 90^o

Giải chi tiết vận dụng 2 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định số đo cung AB trong hình ngôi sao năm cánh (Hình 10)

Bài làm chi tiết:

Số đo cung AB < 90^o

Giải chi tiết hoạt động 4 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trên đường tròn (O), vẽ hai cung nhỏ AB, BC sao cho AOB = 18°, BOC = 32° và tia OB ở giữa hai tia OA, OC (Hình 11). Tính số đo của các cung AB, BC, AC.

Bài làm chi tiết:

Số đo cung AB là 18^o và 342^o

Số đo cung BC là 32^o và 328^o

Số đo cung AC là 50^o và 310^o

Giải chi tiết thực hành 3 trang 93 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trên cung AB có số đo 90^o của đường tròn (O), lấy điểm M sao cho cung AM có số đo 15^o. Tính số đo cung MB

Bài làm chi tiết:

Trường hợp 1: tia MO nằm giữa AO và OB

=> Cung MB có số đo là 90^o – 15^o = 75^o

Trường hợp 2: tia MO nằm ngoài tia AO và OB

=> Cung MB có số đo là 360^o – 90^o – 15^o = 255^o

Giải chi tiết vận dụng 3 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Bạn Hùng làm một cái diều với thân diều là hình tứ giác SAOB sao cho OS là đường phân giác của AOB và ASB=106°. Thanh tre màu xanh lá được uốn cong thành cung AB của đường tròn tâm O và SA, SB là hai tiếp tuyến của (O) (Hình 12). Tính số đo của AB.

Bài làm chi tiết:

Số đo cung AB là 108^o và 252^o

3. GÓC NỘI TIẾP

Giải chi tiết hoạt động 5 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Giải các phương trình:

Hãy cho biết trong các góc APB, АОВ, AMB, AQB, góc nào có đỉnh nằm trên đường tròn (O).

Bài làm chi tiết:

Các góc APB, АОВ, AMB có đỉnh nằm trên đường tròn (O)

Giải chi tiết thực hành 4 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác đều MNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I). Hãy chỉ ra các góc nội tiếp của đường tròn (1) và tính số đo của các góc nội tiếp đó. 

Bài làm chi tiết:

Trong một tam giác đều, các góc nội tiếp đều có cùng số đo, mỗi góc đều bằng 360/3 =120^o

Vậy các góc nội tiếp của đường tròn (I) là các góc nội tiếp của tam giác MNP, và mỗi góc này đều có số đo là 120^o.

Giải chi tiết vận dụng 4 trang 92 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai điểm E và F nằm trên đường tròn (O). Có bao nhiêu góc nội tiếp chắn cung EF

Bài làm chi tiết:

Có 2 góc nội tiếp chắn cung EF

Giải chi tiết hoạt động 6 trang 93 sgk toán 9 tập 1 ctst

Quan sát Hình 15. Ta có góc nội tiếp AMB chẳn cung AB trên đường tròn (O). Cho biêt AOB = 60°.

a) Tính số đo AB.

b) Dùng thước đo góc để tìm số đo AMB.

c) Có nhận xét gì về hai số đo của AMB và AB?

Bài làm chi tiết:

a) Vì góc nội tiếp AMB chắn cung AB trên đường tròn (O), nên số đo của góc nội tiếp AMB là gấp đôi số đo của cung AB. Do đó, AMB = 2.AOB = 2.60^o = 120^o

b) Để đo số đo của góc AMB, ta sử dụng thước đo góc và đặt thước đo lên AB sao cho một cạnh của thước đo trùng với AB và cạnh kia của thước đo trùng với AM hoặc MB. Khi đó, số đo của góc AMB chính là số đo đo được trên thước đo góc.

c) Hai số đo của AMB và AB có mối quan hệ là góc nội tiếp AMB chắn cung AB trên đường tròn. Do đó, số đo của góc AMB luôn gấp đôi số đo của cung AB.

Giải chi tiết thực hành 5 trang 96 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O) sao cho AOB = 50°, BOC = 30°, điểm B thuộc cung nhỏ AC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ AB, AC và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau. Tìm số đo các góc sau:

a) BCA, BAC;

b) MBA, BAN.

Bài làm chi tiết:

a) 

- Ta có BCA =

- Vì góc nội tiếp chắn cùng có số đo bằng gấp đôi số đo của cung mà chúng chắn. Do đó,

b) 

- Ta chia mỗi cung nhỏ thành hai cung bằng nhau, do đó, các cung này có số đo là 

- MBA = 165^o

- BAN = 165^o vì N nằm trên cung nhỏ AC.

Vậy:

a) BCA = 15^o và BAC = 100^o

b) MBA = 165^o và BAN = 165^o

Giải chi tiết vận dụng 5 trang 96 sgk toán 9 tập 1 ctst

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn MN (Hình 20). Nếu bóng được đặt ở điểm X thì MXN gọi là góc sút từ vị trí X. Hãy so sánh các góc sút MXN, MYN, MZN.

Bài làm chi tiết:

- 3 góc bằng nhau vì cùng chắn một cung MN

 4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm M sao cho OM = 10 cm. Qua M vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo góc ở tâm được tạo bởi hai tia OA và OB.

Bài làm chi tiết:

Xét tam giác OAM vuông tại A

Ta có cos MOA = 5 / 10 = 1 / 2 

=> MOA = 60^o

Mà AOB = 2MOA = 120^o

Giải chi tiết bài 2 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác đều ABC. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Hãy so sánh các cung BD, DE, EC

Bài làm chi tiết:

Trong tam giác đều \(ABC\), với đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB và AC tại D và E, ta cần quan sát vị trí của các điểm D, B, và E trên đường tròn.

Với một tam giác đều, các cung tạo bởi các đỉnh trên đường tròn nằm trên cùng một đường tròn, do đó, chúng chia đều vòng tròn.

Với trường hợp này, các cung BD, DE và EC sẽ bằng nhau. Điều này đúng vì các điểm D, B và E nằm trên cùng một đường tròn có đường kính BC, do đó, các cung mà chúng chắn trên đường tròn cũng sẽ bằng nhau.

Vậy, các cung BD, DE và EC đều bằng nhau trong tam giác đều ABC.

Giải chi tiết bài 3 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.

a) Tính số đo mỗi cung.

b) Chứng minh khoảng cách OH từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng AB/2

Bài làm chi tiết:

a) Gọi số đo của cung nhỏ là \( x \) đơn vị đo, khi đó số đo của cung lớn là 3x đơn vị đo.

Vì cung lớn có số đo gấp ba lần cung nhỏ, nên ta có:

3x = x + 180^o

Suy ra:

2x = 180^o

x = 180^o / 2 = 90^o

Vậy, số đo của cung nhỏ là 90^o và số đo của cung lớn là 3.90^o = 270^o

b) 

Gọi H là điểm chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến H là bán kính của đường tròn.

Vì AB là dây cung, nên OH là phân giác của góc AOB. Vậy, ta có:

OHA = OBA = ½ . số đo của cung lớn = ½ . 270^o = 135^o

Vì tam giác OHA là tam giác vuông tại H, ta có: tan(∠OHA)=  OH / AH​

Tuy nhiên, vì OHA=135∘ và OH là bán kính của đường tròn, ta có thể tính OH. Vì OH là bán kính, nên OH=R, trong đó R là bán kính của đường tròn.

AH=OH×tan(∠OHA)=R×tan(135∘)

Nhưng tan(135∘)= -1 , do đó AH=−R. Tuy nhiên, khoảng cách từ O đến AB phải là một giá trị không âm, nên ta thường lấy giá trị tuyệt đối của AH, ta có:

OH = |AH| = |-R| = R

Vậy, ta thấy rằng khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng bán kính của đường tròn R, hay OH = R. Do đó, OH = AB/2

Giải chi tiết bài 4 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào những thời điểm sau?

a) 2 giờ

b) 8 giờ

c) 21 giờ

Bài làm chi tiết:

a) 60°,

b) 240°,

c) 270°.

Giải chi tiết bài 5 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; ). Một tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại hai điểm A và B. Tính số đo cung AB

Bài làm chi tiết:

Gọi điểm I là điểm tiếp tuyến của đường tròn (O;R) với AB

Xét tam giác AIO vuông tại I

cos AOI =  : R=

=> AOI = 30^o

Mà AOB = 2.AOI 

• AOB = 2.30^o = 60^o

Giải chi tiết bài 6 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định số đo các cung AB, BC, CA trong mỗi hình sau.

Bài làm chi tiết:

a) Số đo cung AB là 53^o

Số đo cung BC là 67^o

Số đo cung CA là 60^o

b) a) Số đo cung AB là  52,5^o

Số đo cung BC là 60^o

Số đo cung CA là 67,5^o

Giải chi tiết bài 7 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng MSD = 2MBA.

Bài làm chi tiết:

Gọi P là giao điểm của AB và CD.

Vì AB và CD là hai đường kính của đường tròn O và vuông góc với nhau => AB và CD là hai đường phân giác của nhau.

• MA = MB và SA = SD (do MS là tiếp tuyến của đường tròn, nên MA và SA là hai phân giác của góc MSD).

Lại có AB và CD là đường kính => góc BAP và DPS là góc vuông.

Do đó, các tam giác BAP và DPS là tam giác vuông cân, với BP = DP.

Từ nhận xét trên, ta có:

MBA = MAB = MSD (do các góc ở chân của các tiếp tuyến đều bằng nhau trong đường tròn),

BAP =  DPS (góc vuông),

BP = DP (do AB) và CD là đường kính cùng vuông góc).

Vậy MSD đồng dạng với MBA.

Do đó, MSD = 2MBA.