Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Bài tập cuối chương 2

Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = 5n – n. Số hạng un + 1 là:

A. 5n + 1 – n – 1.

B. 5n + 1 – n + 1.

C. 5n – n + 1.

D. 5n – n – 1.  

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: un + 1 = 5n + 1 – (n + 1) = 5n + 1 – n – 1.

Bài 48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un=$ \frac{1}{3}$(un-1 + 1)với n ≥  2. Số hạng u4 bằng:

A. u4 = 1.

B. u4= $\frac{2}{3}$

C. u4= $\frac{14}{27}$

D. u4= $\frac{5}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có u2= $\frac{1}{3} $(u2−1+1)=$ \frac{1}{3} $(u1+1)=$ \frac{1}{3}$ (2+1)=1;

u3=$\frac{1}{3} $(u3−1+1)=$ \frac{1}{3} $(u3+1)=$ \frac{1}{3} $(1+1)=$ \frac{2}{3}$

u4=$\frac{1}{3} $(u4−1+1)=$ \frac{1}{3}$ (u3+1)=$ \frac{1}{3} $($\frac{2}{3}$+1)=$ \frac{5}{9}$

Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. un=$ \frac{2}{3^{n}}$

B. un=$ \frac{3}{n}$

C. un = 2n.

D. un = (– 2)n.

Hướng dẫn trả lời:

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có un + 1 = 2n + 1 = 2 . 2n.

Khi đó, un + 1 – un = 2 . 2n – 2n = 2n > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng.

Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

A. 1 320.

B. 660.

C. 630.

D. 1 260.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: 

Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

1. un= $ \frac{1}{5^{n}}$

2. un= 1+$ \frac{1}{5^{n}}$

3. un= $ \frac{1}{5^{n}}$+1

4. un= $ \frac{1}{n^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (un) với un=$ \frac{1}{5^{n}}$

Ta có: u1=$ \frac{1}{5^{1}}$=$\frac{1}{5}$

un+1= $\frac{1}{5^{n+1}}=\frac{1}{5^{n}.5}=\frac{1}{5}.\frac{1}{5^{n}}=\frac{1}{5}u_{n}$ không đổi với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un= $\frac{1}{5^{n}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu u1=$\frac{1}{5}$và công bội q=$\frac{1}{5}$

Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm và u2 = 6, u4 = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (un) là:

A. 3(1 – 210).

B. 3(29 – 1).

C. 3(210 – 1).

D. 3(1 – 29).

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (un) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u2 = u1q = 6; u4 = u1q3 = 24, suy ra $ \frac{u_{4}}{u_{2}}=\frac{u_{1}.q^{3}}{u_{1}.q}=q^{2}=\frac{24}{6}=4$

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u2 = u1q = 6, suy ra u1 = $ \frac{6}{q}$= 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (un) là 

Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:

$ \frac{10^{11}+107}{9}$

$ \frac{10^{12}+98}{9}$

$ \frac{10^{12}+107}{9}$

$ \frac{10^{11}+98}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 102 + 103 + ... + 1011)

=12+$ \frac{10.(1-10^{11})}{1-10}$

=$ \frac{108}{9}+\frac{10^{12}-10}{9}$

=$\frac{10^{12}+98}{9}$

Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết 

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng un + 6 = un với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Hướng dẫn trả lời:

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; $ -\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Ta có

=  $ -\sqrt{3}$

Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là Sn= $ \frac{n(-1-5n)}{2}$ với n ∈ ℕ*.

a) Tính u1, u2 và u3.

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát un.

c) Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: u1=S1=$ \frac{1.(-1-5.1)}{2}$=-3

Vì u1+u2=S2= $ \frac{2.(-1-5.2)}{2}$=-11 nên u2 = S2 – u1 = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì S2+u3=S3=$ \frac{3.(-1-5.3)}{2}$=-24 nên u3 = S3 – S2 = – 24 – (– 11) = – 13.

b) Ta có: un = Sn – Sn – 1 = 

=$ =\frac{-n-5n^{2}-(n-1)(-1-5n+5)}{2}=\frac{-n-5n^{2}-(-n-5n^{2}+5n+1+5n-5)}{2}=\frac{-10n+4}{2}=2-5n$

Vậy un = 2 – 5n.

c) Ta có: 

Vậy dãy số (un) là một cấp số cộng.

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt vn = un + 1 – un với n ∈ ℕ*. Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của vn, un tính theo n.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có u1 = 1, u2 = 2, u3 = u2 + 1 = 2u2 – u2 – 1 + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u4 = u3 + 1 = 2u3 – u3 – 1 + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u5 = u4 + 1 = 2u4 – u4 – 1 + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức un + 1 = 2un – un – 1 + 2 suy ra un + 1 – un = un – un – 1 + 2.

Mà vn = un + 1 – un và vn – 1 = un – 1 + 1 – un – 1 = un – un – 1.

Do đó, vn = vn – 1 + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu v1 = u2 – u1 = 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: vn = v1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v1 = u2 – u1

            v2 = u3 – u2

            ...

            vn – 2 = un – 1 – un – 2

            vn – 1 = un – un – 1

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v1 + v2 + ... + vn – 2 + vn – 1 = – u1 + un  

         ⇔$ \frac{(v_{1}+v_{n-1})(n-1)}{2}$=−1+un

⇔ (n – 1)2 = un – 1

⇔ un = 1 + (n – 1)2.

Vậy un = 1 + (n – 1)2 và vn = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ*.

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), biết u1 = – 2, un+1=$ \frac{n+1}{2n}$  với n ∈ ℕ*. Đặt vn= $ \frac{u_{n}}{n}$với n ∈ ℕ*.

a) Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của un tính theo n.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có v1=$ \frac{u_{1}}{1}=\frac{-2}{1}$=−2;

vn+1=$ \frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{(\frac{n+1}{2n}.u_{n})}{n+1}=\frac{1}{2}.\frac{u_{n}}{n}=\frac{1}{2}v_{n}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu v1 = – 2 và công bội q=$ \frac{1}{2}$.

b) Từ kết quả của câu a) suy ra vn=v1.qn−1=(−2).(12)n−1=−(12)n−2

Từ vn=$ \frac{u_{n}}{n}$ , suy ra un=n.vn=−n.$ (\frac{1}{2})^{n-2}$ với mọi n ≥ 2.

Bài 58 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.

b) Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Hướng dẫn trả lời:

a) Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,752 = 675 (triệu đồng).

b) Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,755 ≈ 285 (triệu đồng).

Bài 59 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Hướng dẫn trả lời:

a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

$ 1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}; 1-(\frac{8}{9})^{2}=\frac{17}{81};1-(\frac{8}{9})^{3}=\frac{217}{729}$

b) Gọi Sn là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: Sn = 1 – $ (\frac{8}{9})^{n}$