Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$f(x)=L  và $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$g(x)=M (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Với $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$f(x)=L  và $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$$\frac{f(x)}{g(x)}$=$ \frac{L}{M}$ (L, M ∈ ℝ) thì  (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b), nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}$f(x)=L

Bài 14 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}=0$

B. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= +\infty$

C. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= -\infty$

D. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= +\infty$ hoặc $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= -\infty$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}=0$

Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

1. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$=L thì $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

2. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$=L thì $ L\geq 0$

3. Nếu f(x)$ \geq $  và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

4. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x)$ \geq $  và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Bài 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$

B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$ .

C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$ .

D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$

Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

$ a) \lim_{x\rightarrow -2}x^{3}=-8$

$ b) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét hàm số f(x) = x3. Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn limxn = – 2.

Ta có limf(xn) = limxn3=(−2)3=-8

Vậy $\lim_{x\rightarrow -2}x^{3}=-8$.

b) Xét hàm số g(x)=$ \frac{x^{2}-4}{x+2}$.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ – 2 và lim xn = – 2.

Ta có limg(xn)=$ lim\frac{x_{n}^{2}-4}{x_{n}^{2}+2}=lim\frac{(x_{n}-2)(x_{n}+2)}{x_{n}+2}$ =lim(xn−2)=-4

Vậy $\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$

Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $ \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=4$, chứng minh rằng:

a) $ \lim_{x\rightarrow 3}3f(x)$=12

b) $ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)}{4}$=1

c) $ \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{f(x)}=2$

Hướng dẫn trả lời:

1. $ \lim_{x\rightarrow 3}3f(x)$=$ \lim_{x\rightarrow 3}3.\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=3.4=12$

2. $ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)}{4}$=$\frac{\lim_{x\rightarrow 3}f(x)}{\lim_{x\rightarrow 3}4}=\frac{4}{4}=1$

3. $ \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{f(x)}= \sqrt{\lim_{x\rightarrow 3}f(x)}=\sqrt{4}=2$

Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $ \lim_{x\rightarrow+\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow-\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow(-2)^{+}}f(x); \lim_{x\rightarrow(-2)^{-}}f(x)$

Hướng dẫn trả lời:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$ \lim_{x\rightarrow+\infty }f(x)=1$

$\lim_{x\rightarrow-\infty }f(x)=1$

$\lim_{x\rightarrow(-2)^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow(-2)^{-}}f(x)=+\infty$

Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

1. $ \lim_{x\rightarrow-1}(-4x^{2}+3x+1)$

2. $ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{-4x+1}{x^{2}-x+3}$

3. $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$

4. $ \lim_{x\rightarrow-\infty }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^{2}+3}$

5. $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{-3}{x-2}$

6. $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{5}{x+2}$

Hướng dẫn trả lời:

1. $ \lim_{x\rightarrow-1}(-4x^{2}+3x+1)$=$ \lim_{x\rightarrow -1}(-4x^{2})+\lim_{x\rightarrow -1}(3x)+\lim_{x\rightarrow -1}1=-4-3+1=-6$

2. $ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{-4x+1}{x^{2}-x+3}$=$\frac{\lim_{x\rightarrow -1}(-4x+1)}{\lim_{x\rightarrow -1}(x^{2}-x+3)}=\frac{\lim_{x\rightarrow -1}(-4x)=\lim_{x\rightarrow -1}1}{\lim_{x\rightarrow -1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow -1}x+\lim_{x\rightarrow -1}3}=\frac{4+1}{1-(-1)+3}=1$

3. Vì $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$=$\lim_{x\rightarrow 2}(3x^{2})=\lim_{x\rightarrow 2}(5x)+\lim_{x\rightarrow 2}4=3.2^{2}+5.2+4=26$

Do đó, $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$=$\sqrt{26}$

e)Vì $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(-3)=-3< 0;\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x-2)=0$ và x-2>0 với mọi x>2

Do đó, $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{-3}{x-2}$=-$\infty$

g)Vì $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}5=5>0;\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x+2)=0$ và x+2>0 với mọi x>-2

Do đó, $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{5}{x+2}$=$+\infty$

Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

1. $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5x+2}{3x+1}$

2. $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-2x+3}{3x^{2}+2x+5}$

3. $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{9x^{2}+3}}{x+1}$

4. $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt{9x^{2}+3}}{x+1}$

5. $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{2}-8x+6}{x^{2}-1}$

6. $ \lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x^{2}+2x+15}{x^{2}+4x+3}$

Hướng dẫn trả lời:

1. $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5x+2}{3x+1}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{3}$

2. $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-2x+3}{3x^{2}+2x+5}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{-2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{3+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}}=\frac{0}{3}=0$

e)$ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{2}-8x+6}{x^{2}-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2x-6)(x-1)}{(x+1)(x-1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x-6}{x+1}=-2$

f) $ \lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x^{2}+2x+15}{x^{2}+4x+3}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{(5-x)(x+3)}{(x+1)(x+3)} =\lim_{x\rightarrow -3}\frac{5-x}{x+1}=-4$

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$. Tính:

1. $ \lim_{x\rightarrow 1}f(x)$

2. $ \lim_{x\rightarrow 1}3f(x)$

Hướng dẫn trả lời:

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$.

b) Ta có  $\lim_{x\rightarrow 1}3f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}3.\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$=3.4=12

Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thoả mãn $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=2022$. Tính $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)}{\lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{x})}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)}{\lim_{x\rightarrow +\infty }1+\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}}=\frac{2022}{1+0}=2022$

Vậy $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}$=2022

Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty $. Chứng minh rằng:

$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1-\frac{2}{f(x)}}{2+\frac{1}{f(x)}}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}(1-\frac{3}{f(x)})}{\lim_{x\rightarrow a}(2+\frac{1}{f(x)})}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}1-\lim_{x\rightarrow a}\frac{3}{f(x)}}{\lim_{x\rightarrow a}2+\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}1-\frac{\lim_{x\rightarrow a}3}{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}{\lim_{x\rightarrow a}2+\frac{\lim_{x\rightarrow a}1}{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$

Vậy $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\frac{1}{2}$

Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t2 – t3 (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t1, t2 là Vtb=$ \frac{g(t_{2}-g(t_{1}))}{t_{2}-t_{1}}$. Tính $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}$ và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có g(10) = 45 . 102 – 103.

Khi đó $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}= \lim_{t\rightarrow 10}\frac{45t^{2}-t^{3}-45.10^{2}-10^{3}}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}\frac{(45t^{2}-45.10^{2})-(t^{3}-10^{3})}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}\frac{45(t-10)(t+10)-(t-10)(t^{2}+10t+100)}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}(-t^{2}+35t+350)=600$

Vậy $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}$=600

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.