Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 1 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 48 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là:

A. x=$\frac{\pi }{2}$+k2π(k∈Z)

B. x=$\frac{\pi }{2}$+kπ(k∈Z)

C. x=π+k2π(k∈Z)

D. x=k2π(k∈Z)

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin x = 1 ⇔x=$\frac{\pi }{2}$+k2π(k∈Z)

Bài 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π) nên số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Bài 50 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cosx = $-\frac{1}{2}$ có các nghiệm là:

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có: cosx = $-\frac{1}{2}$ ⇔cosx=cos$\frac{2\pi }{3}$

Bài 51 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ là:

A. 0 ≤ m < 1.

B. 0 ≤ m ≤ 1.

C. 0 < m ≤ 1.

D. 0 < m < 1.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = m.

Trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = cos x khi m ∈ (0; 1].

Do đó, giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ là 0 < m ≤ 1.

Bài 52 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = − 1 có các nghiệm là:

A. x=$\frac{\pi }{4}$+k2π(k∈Z)

B. x=−$\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

C. x=$\frac{\pi }{2}$+k2π(k∈Z)

D. x=−$\frac{\pi }{4}$+k2π(k∈Z)

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có tan x = − 1 ⇔x=−$\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

Bài 53 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cot x = 0 có các nghiệm là:

A. x= $\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

B. x= $\frac{\pi }{2}$+k2π(k∈Z)

C. x=kπ(k∈Z)

D. x= $\frac{\pi }{2}$+kπ(k∈Z)

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có cot x = 0 ⇔x=$\frac{\pi }{2}$+kπ(k∈Z)

Bài 54 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x – cos x = 0 có các nghiệm là:

A. x= $\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

B. x=−$\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

C. x= $\frac{\pi }{4}$+k2π(k∈Z)

D. x=−$\frac{\pi }{4}$+k2π(k∈Z)

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (*)

Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin2 x + cos2 x = 1 nên (*) tương đương với tan x = 1, tức là x= $\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình   có các nghiệm là:

A. x=−$\frac{\pi }{6}$+kπ(k∈Z).

B. x= $\frac{\pi }{3}$+kπ(k∈Z)

C. x=−$\frac{\pi }{3}$+kπ(k∈Z).

D. x= $\frac{\pi }{6}$+kπ(k∈Z).

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt{3}cosx+3sinx=0$

⇔$\sqrt{3}.(cosx+\sqrt{3}sinx)=0$

⇔cosx+$\sqrt{3}sinx$=0

⇔$\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=0$

⇔$cos\frac{\pi }{3}cosx+sin\frac{\pi }{3}sinx=0$

⇔$cos(\frac{\pi }{3}-x)=0$

⇔$\frac{\pi }{3}$−x=$\frac{\pi }{2}$+kπ(k∈Z)

⇔x=−$\frac{\pi }{6}$+kπ(k∈Z).

Bài 56 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cos2x=cos(x+$\frac{\pi }{4}$) có các nghiệm là:

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có cos2x=cos(x+$\frac{\pi }{4}$)

Bài 57 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin 3x = cos x có các nghiệm là:

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin 3x = cos x

⇔sin3x=sin($\frac{\pi }{2}-x)$

Bài 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) sin3x = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) sin($\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}$) = $-\frac{\sqrt{2}}{2}4

c) cos(3x+$\frac{\pi }{4}$)=$-\frac{1}{2}$

d) 2cosx + $\sqrt{3}$=0

e) $\sqrt{3}$tanx-1=0

g) cot(x+$\frac{\pi }{5}$=1

Hướng dẫn trả lời:

a) Do sin$\frac{\pi }{3}$ nên sin3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇔sin3x=sin$\frac{\pi }{3}$

b) Do sin(−$\frac{\pi }{4}$)= $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên  sin($\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}$) = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇔ sin($\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}$) = sin(−$\frac{\pi }{4}$)

c) Do cos$ \frac{2\pi }{3}$=−$ \frac{1}{2}$  nên cos(3x+$\frac{\pi }{4}$)=$-\frac{1}{2}$

⇔ cos(3x+$\frac{\pi }{4}$)=$cos(\frac{2\pi }{3})$

d)   2cosx+$ \sqrt{3}=0$

⇔cosx= $ -\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔cosx=cos$ \frac{5\pi }{6}$ (do cos$ \frac{5\pi }{6}$=$ -\frac{\sqrt{3}}{2}$)

⇔x=±$\frac{5\pi }{6}$+k2π(k∈Z).

e)  $\sqrt{3}tanx-1=0$

  ⇔tanx= $\frac{1}{\sqrt{3}}$

 ⇔tanx=tan$\frac{\pi }{6}$ (do tan$\frac{\pi }{6}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$)

⇔x=$\frac{\pi }{6}$+kπ(k∈Z).

g) Do cot$\frac{\pi }{4}$=nên cot(x+$\frac{\pi }{5}$)= ⇔cot(x+$\frac{\pi }{5}$)=cot$\frac{\pi }{4}$

⇔x+$\frac{\pi }{5}$=$\frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z)

⇔x=$\frac{\pi }{20}$+kπ(k∈Z)

Bài 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) sin 2x = sin 42°;

b) sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

c) cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$

d) cos 2x = cos (3x + 10°);

e) tan x = tan 25°;

f) cot x = cot (– 32°).

Hướng dẫn trả lời:

a) sin 2x = sin 42°

b) Do sin(−60°)= $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇔ sin(x – 60°) = sin(– 60°)

c) Do cos60°= $\frac{1}{2}$nên cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$ ⇔ cos(x + 50°) = cos 60°

d) cos 2x = cos (3x + 10°)

e) tan x = tan 25°

⇔ x = 25° + k180° (k ∈ ℤ).

f) cot x = cot (– 32°)

⇔ x = – 32° + k180° (k ∈ ℤ).

Bài 60 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) sin(3x−$\frac{\pi }{4}$)=sin(x+$\frac{\pi }{6}$)

b) cos(2x−$\frac{\pi }{3}$)=sin($\frac{\pi }{4}$−x)

c) sin2(x+$\frac{\pi }{4}$)=sin2(2x+$\frac{\pi }{2}$)

d) cos2(2x+$\frac{\pi }{2}$)=sin2(x+$\frac{\pi }{6}$)

e) cos x + sin x = 0;

g) sin x – $\sqrt{3}$cos x = 0.

Hướng dẫn trả lời:

a) sin(3x−$\frac{\pi }{4}$)=sin(x+$\frac{\pi }{6}$)

b)  cos(2x−$\frac{\pi }{3}$)=sin($\frac{\pi }{4}$−x)

c)  sin2(x+$\frac{\pi }{4}$)=sin2(2x+$\frac{\pi }{2}$)

 ⇔$ \frac{1-cos(2x+\frac{\pi }{2})}{2}=\frac{1-cos(4x+\pi )}{2}$ (Sử dụng công thức hạ bậc)

⇔cos(2x+$ \frac{\pi }{2}$)=cos(4x+π)

⇔x=−$ \frac{\pi }{4}$+k$ \frac{\pi }{3}$(k∈Z)

d)  cos2(2x+$\frac{\pi }{2}$)=sin2(x+$\frac{\pi }{6}$)

⇔ \frac{1+cos(4x+\pi )}{2}=\frac{1-cos(2x+\frac{\pi }{3})}{2} (sử dụng công thức hạ bậc)

⇔cos(4x+π)=−cos(2x+$ \frac{\pi }{3}$)

⇔cos(4x+π)=cos(2x+$ \frac{\pi }{3}$+π) (sử dụng quan hệ hơn kém π)

⇔cos(4x+π)=cos(2x+$ \frac{4\pi }{3}$

e) cos x + sin x = 0

⇔ cos x = – sin x

⇔ tan x = – 1

⇔x=−$ \frac{\pi }{4}$+kπ(k∈Z). 

g) sin x – $ \sqrt{3}$cos x = 0

⇔$ \frac{1}{2}$sinx-$ \frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=0

⇔sinxcos$ \frac{\pi }{3}$−cosxsin$ \frac{\pi }{3}$=0

⇔sin(x−$ \frac{\pi }{3}$)=0

⇔x−$ \frac{\pi }{3}$=kπ(k∈Z)

⇔x=$ \frac{\pi }{3}$+kπ(k∈Z)

Bài 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng đồ thị hàm số y = sin x, y = cos x để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π];

b) $ \sqrt{2}$cos x + 1 = 0 trên khoảng (– 4π; 0).

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có 5sin x – 3 = 0 ⇔sinx=$ \frac{3}{5}$

Do đó, số nghiệm của phương trình 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng ⇔sinx=$ \frac{3}{5}$

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng y=$ \frac{3}{5}$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].

b) Ta có $ \sqrt{2}$cos x + 1 = 0 ⇔cosx= $ -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Do đó, số nghiệm của phương trình $ \sqrt{2}$cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng y=$ -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng y=$ -\frac{1}{\sqrt{2}}$cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $ \sqrt{2}$cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0)

Bài 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (0 ≤ t ≤ 24) được cho bởi công thức h=m+acos($\frac{\pi }{12}t$) với m, a là các số thực dương cho trước.

a) Tìm m, a.

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có h=m+acos($\frac{\pi }{12}t$)

Vì −1≤cos($\frac{\pi }{12}t$)≤1với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên m−a≤m+acos($\frac{\pi }{12}t$)≤m+a .

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi cos(π12t)= và thấp nhất bằng m – a khi cos($\frac{\pi }{12}t$)=−1

Theo giả thiết, ta có: 

Vậy m = 13 và a = 3.

b) Từ câu a) ta có công thức h=13+3cos($\frac{\pi }{12}t$) .

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên 13+3cos($\frac{\pi }{12}t$)=11,5 ⇔cos($\frac{\pi }{12}t$)=−$ \frac{1}{2}$

⇔cos($\frac{\pi }{12}t$)=cos($\frac{2\pi }{3}$

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.