Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 2 Bài 2 Cấp số cộng

Bài 15 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. un = 3n.

B. un = 1 – 3n.

C. un = 3n + 1.

D. un = 3 + n2.  

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là cấp số cộng.

Thật vậy, ta có un – un – 1 = (1 – 3n) – [1 – 3(n – 1)] = 1 – 3n – 1 + 3n – 3 = – 3 luôn không đổi với mọi n ∈ ℕ* và u1 = 1 – 3 . 1 = – 2.

Vậy (un) với un = 1 – 3n là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = – 2 và công sai d = – 3. 

Bài 16 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) biết u1=$ \frac{1}{3}$; u8 = 26. Công sai d của cấp số cộng đó là:

A. $ \frac{11}{3}$

B. $ \frac{10}{3}$

C. $ \frac{3}{13}$

D. $ \frac{3}{11}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Ta có u8 = u1 + (8 – 1)d = u1 + 7d.

Mà u1=$ \frac{1}{3}$; u8 = 26 nên ta có 26 = $ \frac{1}{3}$ + 7d, từ đó suy ra d =  $ \frac{11}{3}$

Bài 17 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là:

A. 7; 12; 17.

B. 6; 10; 14.

C. 8; 13; 18.

D. 6; 12; 18.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d, ba số hạng xen giữa 2 và 22 lần lượt là u2, u3, u4 và số hạng thứ năm là u5 = 22.

Khi đó ta có u5 = u1 + (5 – 1)d = 2 + 4d = 22, suy ra d = 5.

Do đó, u2 = u1 + d = 2 + 5 = 7; u3 = u2 + d = 7 + 5 = 12 và u4 = u3 + d = 12 + 5 = 17.

Vậy ba số hạng cần tìm là 7; 12; 17.

Bài 18 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) biết u5 + u7 = 19. Giá trị của u2 + u10 là:

A. 38.

B. 29.

C. 12.

D. 19.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Giả sử d là công sai của cấp số cộng (un).

Ta có u5 + u7 = [u1 + (5 – 1)d] + [u1 + (7 – 1)d] = 2u1 + 10d.

Và u2 + u10 = (u1 + d) + [u1 + (10 – 1)d] = 2u1 + 10d.

Do đó, u2 + u10 = u5 + u7 = 19.

Bài 19 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d = − 5. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

A. – 410.

B. – 205.

C. 245.

D. – 230.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

S10=$ \frac{(2u_{1}+(10-1)d).10}{2}=\frac{(2.2+9.(-5)).10}{2}=-205$

Bài 20 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có Sn = n2 + 4n với n ∈ ℕ*. Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó là:

A. u1 = 3, d = 2.

B. u1 = 5, d = 2.

C. u1 = 8, d = – 2.

D. u1 = – 5, d = 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có S1 = 12 + 4 . 1 = 5 = u1;

S2 = 22 + 4 . 2 = 12, mà S2 = u1 + u2 = 5 + u2, từ đó suy ra u2 = 12 – 5 = 7.

Do đó, công sai d của cấp số cộng là d = u2 – u1 = 7 – 5 = 2.

Vậy u1 = 5, d = 2.

Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số  $ \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn trả lời:

Do ba số  $ \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

⇔$ \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}$

⇔$ \frac{2}{c+a}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}$

⇔$ \frac{2}{c+a}=\frac{b+c+a+b}{(a+b)(b+c)}$

⇔$\frac{2}{c+a}=\frac{2b+c+a}{(a+b)(b+c)}$

⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)

⇔ 2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = 2bc + c2 + ca + 2ab + ac + a2

⇔ 2b2 = a2 + c2

⇔ b2 – a2 = c2 – b2.

Suy ra ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài 22 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x để ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. 

Hướng dẫn trả lời:

Ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi

(2x2 + 3) – (10 – 3x) = (7 – 4x) – (2x2 + 3)

⇔ 2x2 + 3 – 10 + 3x = 7 – 4x – 2x2 – 3

⇔ 4x2 + 7x – 11 = 0

Bài 23 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết:

Hướng dẫn trả lời:

a. Ta có: 

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3

b. Ta có

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 16 và công sai d = – 3

c. Ta có

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 3.

Bài 24 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương.

a) Tính u100, S100.

b) Tính tổng: u1 + u5 + u9 + ... + u101.  

Hướng dẫn trả lời:

Ta có u2 + u4 = (u1 + d) + (u1 + 3d) = 2u1 + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u1.

Lại có u1 . u5 = u1 . (u1 + 4d) = u1 . (u1 + 22 – 2u1) = u1 . (22 – u1).

Mà u1 . u5 = 21, do đó u1 . (22 – u1) = 21 ⇔ 22u1 – u12 – 21 = 0 

Mà u1 . u5 = 21, do đó u1 . (22 – u1) = 21 ⇔ 22u1 – u12 – 21 = 0 

Với u1 = 1, suy ra d=$ \frac{22-2u_{1}}{4}=\frac{22-2.1}{4}=5>0$ (thỏa mãn).

Với u1 = 21, suy ra d=$ \frac{22-2u_{1}}{4}=\frac{22-2.21}{4}=-5<0$ (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 5.

a) Ta có: u100 = u1 + (100 – 1)d = 1 + 99 . 5 = 496.

b) Ta có u5 – u1 = (u1 + 4d) – u1 = 4d, tương tự u9 – u5 = 4d, ...

Do đó các số u1, u5, u9, ..., u100 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d' = 4d = 4 . 5 = 20.

Lại có (101 – 1) : 4 + 1 = 26 nên tổng u1 + u5 + u9 + ... + u101 gồm 26 số hạng.

Do vậy, u1 + u5 + u9 + ... + u101 

Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số hạng nhỏ nhất trong các số cần tìm là u và công sai của cấp số cộng là d.

Khi đó, năm số hạng liên tiếp là u, u + d, u + 2d, u + 3d, u + 4d.

Vì tổng của chúng bằng 40 nên u + u + d + u + 2d + u + 3d + u + 4d = 40

⇔ 5u + 10d = 40 ⇔ u + 2d = 8.

⇔ u = 8 – 2d. (1)

Lại có tổng bình phương của chúng bằng 480 nên

u2 + (u + d)2 + (u + 2d)2 + (u + 3d)2 + (u + 4d)2 = 480. (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

(8 – 2d)2 + (8 – 2d + d)2 + (8 – 2d + 2d)2 + (8 – 2d + 3d)2 + (8 – 2d + 4d)2 = 480

⇔ (8 – 2d)2 + (8 – d)2 + 82 + (8 + d)2 + (8 + 2d)2 = 480

⇔ 64 – 32d + 4d2 + 64 – 2d + d2 + 64 + 64 + 2d + d2 + 64 + 32d + 4d2 = 480

⇔ 10d2 + 320 = 480

⇔ 10d2 = 160

⇔ d2 = 16

⇔ d = ±4

+ Với d = 4, ta có u = 8 – 2 . 4 = 0.

+ Với d = – 4, ta có u = 8 – 2 . (– 4) = 16.

Vậy năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 = 234.

a) Tính u2 + u8 + u14 + u20.

b) Tìm u1, d, biết u10 = 37.  

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21

= u1 + (u1 + 4d) + (u1 + 8d) + (u1 + 12d) + (u1 + 16d) + (u1 + 20d)

= 6u1 + 60d

Mà u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 nên 6u1 + 60d = 234 ⇔ u1 + 10d = 39.

Lại có u2 + u8 + u14 + u20 = (u1 + d) + (u1 + 7d) + (u1 + 13d) + (u1 + 19d)

= 4u1 + 40d = 4(u1 + 10d) = 4 . 39 = 156. 

Vậy u2 + u8 + u14 + u20 = 156.

b) Ta có u1 + 10d = (u1 + 9d) + d = u10 + d = 39.

Mà u10 = 37 nên suy ra d = 39 – u10 = 39 – 37 = 2.

Do đó, u1 = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u1 = 19 và d = 2.

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = – 2, un+1=$ \frac{u_{n}}{1-u_{n}}$ với n ∈ ℕ*. Đặt vn= $ \frac{u_{n}+1}{u_{n}}$ với n ∈ ℕ*.

a) Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của vn, un tính theo n.

c) Tính tổng S=$ \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+...+\frac{1}{u_{20}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có vn= $ \frac{u_{n}+1}{u_{n}}$ , vn+1= $ 1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{\frac{1}{u_{n}}}{1-u_{n}}=1+\frac{1-u_{n}}{u_{n}}=\frac{1}{u_{n}}$ Khi đó, vn+1−vn=$ \frac{1}{u_{n}}-(1+\frac{1}{u_{n}})=-1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu là v1=và công sai d = – 1.

b) Ta có vn=v1+(n−1)d=$ \frac{1}{2}$+(n−1).(−1)=$ \frac{1}{2}$−n+1=$ \frac{3}{2}$−n

Vì vn=$ 1+\frac{1}{u_{n}}$ nên $ 1+\frac{1}{u_{n}}$ = $ \frac{3}{2}-n$ ⇔$ \frac{1}{u_{n}}=\frac{1}{2}-n$ ⇔un=$ \frac{2}{1-2n}$

Vậy vn=$ \frac{3}{2}$−n và un=$ \frac{2}{1-2n}$

c) Từ vn=$1+\frac{1}{u_{n}}$ , suy ra $\frac{1}{u_{n}}=v_{n}-1$

Khi đó ta có S=$ \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+...+\frac{1}{u_{20}}$

          = (v1 – 1) + (v2 – 1) + (v3 – 1) + ... + (v20 – 1)

          = (v1 + v2 + v3 + ... + v20) – 20.

Mà v1 + v2 + v3 + ... + v20 là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (vn) nên

v1 + v2 + v3 + ... + v20= 

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Hướng dẫn trả lời:

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = $ \frac{(1+12).12}{2}+11$ = 89 (tiếng chuông).

Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

Hướng dẫn trả lời:

Tổng số khúc gỗ được xếp là:

15 + 16 + ... + 21 = $ \frac{(15+21).7}{2}$ = 126 (khúc gỗ).