Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Bài tập cuối chương 3

Bài 32 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = 2, limvn = 3. Khi đó, lim(un + vn) bằng:

A. 6.

B. 5.

C. 1

D. 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có lim(un + vn) = limun + limvn = 2 + 3 = 5.

Bài 33 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = 3, lim vn = +∞. Khi đó lim$ \frac{v_{n}}{u_{n}}$ bằng:

A. 3.

B. –∞.

C. +∞.

D. 0.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Vì limun = 3 > 0, lim vn = +∞ nên lim$ \frac{v_{n}}{u_{n}}$=+∞

Bài 34 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un=$ 1-\frac{2}{n}$, vn=$ 4+\frac{2}{n+2}$. Khi đó, lim(un+$ \sqrt{v_{n}}$)  bằng:

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có limun=lim($ 1-\frac{2}{n}$)=lim1-lim$\frac{2}{n}$=1-0=1

Và limvn=lim($ 4+\frac{2}{n+2}$)=lim4+lim$\frac{2}{n+2}$=4+0=4

Suy ra lim$\sqrt{v_{n}}$=2 .

Khi đó lim(un+$ \sqrt{v_{n}}$)=limun+ lim$\sqrt{v_{n}}$=1+2=3.

Bài 35 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Biểu diễn dưới dạng phân số của 1,(7) là:

A. $ \frac{7}{9}$

B. $ \frac{10}{9}$

C. $ \frac{10}{3}$

D. $ \frac{16}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 1,(7) = 1 + 0,(7) = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... + 0,00007 + ...

Vì 0,7; 0,07; 0,007; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 0,7 và công bội q = 0,1 < 1 nên

0,7 + 0,07 + 0,007 + ... + 0,00007 + ... = $ \frac{0,7}{1-0,1}=\frac{7}{9}$

Vậy 1,(7) = 1 + $ \frac{7}{9}$=$ \frac{16}{9}$

Bài 36 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $ \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$=5 . Khi đó, $ \lim_{x\rightarrow 2}2f(x)$  bằng:

A. 5.

B. 2.

C. 10.

D. 7.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có $ \lim_{x\rightarrow 2}2f(x)$= $ \lim_{x\rightarrow 2}2$.$ \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$=2.5=10

Bài 37 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=4,\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2$. Khi đó $ \lim_{x\rightarrow 3}f(x)$ bằng:

A. 4.

B. 2.

C. 6.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có \lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=4,\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2 nên $ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)$

Suy ra không tồn tại $ \lim_{x\rightarrow 3}f(x)$

Bài 38 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)$=+∞  thì   bằng:

A. +∞.

B. –∞.

C. a.

D. – a.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 

Mà $ \lim_{x\rightarrow a}(-1)=-1<0$ và $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)$=+∞

Do vậy $\lim_{x\rightarrow a}(-1).\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty

$. Vậy 

Bài 39 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 9 và cho biết:

a)  $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$ bằng:

A. 2.

B. 1. 

C. +∞.

D. –∞.

b)  $ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$ bằng:

A. 2.

B. 1.

C. +∞.

D. –∞.

c) Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng:

A. (–∞; 1).

B. (–∞; +∞).

C. (1; +∞).

D. (–∞; 2).

Hướng dẫn trả lời:

a) Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị ta thấy khi x → +∞ thì f(x) → 2.

Vậy $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$=2

b) Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị ta thấy $ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$= –∞

c) Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (1; +∞)

Bài 40 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào sau đây không liên tục trên tập xác định của nó?

A. y = x.

B. y= $ \frac{1}{x}$

C. y = sin x.

D. 

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

- Các hàm số y = x, y = sin x liên tục trên ℝ.

- Hàm số y=$ \frac{1}{x}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó là (–∞; 0) và (0; +∞).

- Xét hàm số 

Xét tại x = 0, ta có: $ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$=1, $ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=0$

Suy ra không tồn tại $ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)$. Vậy hàm số này không liên tục tại x = 0.

Do vậy hàm số 

Bài 41 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số y = tan x gián đoạn tại bao nhiêu điểm trên khoảng (0; 2π)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x có tập xác định D=R\($ \frac{\pi }{2}$+kπ∣∣k∈Z).

Trong khoảng (0; 2π), hàm số y = tan x không xác định tại các điểm x=$ \frac{\pi }{2}$, x=$ \frac{3\pi }{2}$.

Vì hàm số y = tan x liên tục trên từng khoảng xác định của nó nên trong khoảng (0; 2π), hàm số này không liên tục tại hai điểm  x=$ \frac{\pi }{2}$, x=$ \frac{3\pi }{2}$.

Bài 42 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) $lim\frac{2n-4}{5}$

b) $ lim\frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$

c) $ lim(2+\frac{7}{4^{n}})$

d) $ lim\frac{-4n^{2}-3}{2n^{2}-n+5}$

e) $ lim\frac{\sqrt{9n^{2}+2n+1}}{n-5}$

g) $ lim\frac{3^{n}+4.9^{n}}{3.4^{n}+9^{n}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì lim(2n – 4) = +∞ và lim5 = 5 > 0 nên $lim\frac{2n-4}{5}$ =+∞.                              

b) $ lim\frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$=$lim\frac{n(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^{2}})}{2n}=lim\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^{2}}}{lim2}=\frac{0}{2}=0$

=lim2+lim7.lim($\frac{1}{4}$)n=2+7.0=2.          

d) $lim\frac{-4n^{2}-3}{2n^{2}-n+5}$=$lim\frac{n^{2}(-4-\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^{2}})}=lim\frac{-4-\frac{3}{n^{2}}}{2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^{2}}}=\frac{lim(-4-\frac{3}{n^{2}})}{lim(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^{2}})}=\frac{-4}{2}=-2$

e) $lim\frac{\sqrt{9n^{2}+2n+1}}{n-5}$=$lim\frac{\sqrt{n^{2}(9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}}{n-5}=lim\frac{n\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{n(1-\frac{5}{n})}=lim\frac{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{lim\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{\sqrt{9}}{1}=3$          

Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác T1 có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T2 đồng dạng với tam giác T1, tam giác T3 đồng dạng với tam giác T2, ..., tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng $ \frac{1}{k}$ (k>1). Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi diện tích các tam giác T1; T2; ...; Tn – 1; Tn lần lượt là S1; S2; ...; Sn – 1; Sn.

Vì tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng $ \frac{1}{k}$ nên diện tích tam giác Tn bằng $ \frac{1}{k^{2}}$ diện tích tam giác Tn – 1 hay Sn=$ \frac{1}{k^{2}}$Sn-1.

Vì k > 1 nên $ \frac{1}{k^{2}}$<1. Vậy S1; S2; ...; Sn – 1; Sn; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S1 = 1 và công bội q=$ \frac{1}{k^{2}}$.

Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:

S = S1 + S2 + ... + Sn – 1 + Sn + ... =$ \frac{1}{1-\frac{1}{k^{2}}}=\frac{k^{2}}{k^{2}-1}$

Bài 44 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a)$ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^{2}-1}$

b)$ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{1}{x-2}$

c)$ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{-5+x}{x+3}$

d)$ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{14x+2}{-7x+1}$

e)$ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-2x^{2}}{3x+5}$

g)$ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x+2}$

h)$ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}$

i)$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}$

k)$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+4x-3}{x^{2}+3x-18}$

Hướng dẫn trả lời:

1. $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^{2}-1}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{3x^{3}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{0}{1}=0$

2. $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{1}{x-2}$=+∞

3. $\lim_{x\rightarrow 3^{+}}(-5+x)=-8<0;\lim_{x\rightarrow 3^{+}}(x+3)=0$ và x+3>0 với mọi x>-3

Do đó, $ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}\frac{-5+x}{x+3}$=-∞

4. $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{14x+2}{-7x+1}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{14+\frac{2}{x}}{-7+\frac{1}{x}}=\frac{14}{-7}=-2$

5. $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-2x^{2}}{3x+5}$=$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-2}{\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}}=-\infty$

h) $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$

i) $ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}$=$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x-3)=-1$

k)$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+4x-3}{x^{2}+3x-18}$=$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-1)(3-x)}{(x+6)(x-3)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-(x-1)}{x+6}=\frac{-2}{9}$

Bài 45 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ. ....

Hướng dẫn trả lời:

Với x ≠ 2 thì f(x)=$ \frac{x^{2}-4}{x-2}$ liên tục trên hai khoảng (–∞; 2) và (2; +∞). 

Ta có: f(2) = a; $ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x+2)=4$

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 2.

Khi đó f(2)=$ \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$  hay a = 4.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ khi a = 4.

Bài 46 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là C(t)= $ \frac{30t}{200+t}$.

b) Tính $ \lim_{t\rightarrow +\infty }C(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau t phút thì lượng muối trong bể là 30 . 25 . t = 750t (g) và thể tích nước trong bể là 5 000 + 25t (l).

Vậy nồng độ muối của nước trong bể sau t phút là:

 C(t)=$ \frac{750t}{5000+25t}=\frac{30t}{200+t}$ (g/l).

b) Ta có: $ \lim_{t\rightarrow +\infty }C(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{30t}{200+t}=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{30}{\frac{200}{t}+1}=\frac{30}{1}=30$

Theo kết quả đó, ta thấy khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì nồng độ muối của nước sẽ tăng dần đến giá trị 30 g/l, tức là xấp xỉ nồng độ muối của loại nước muối cho thêm vào bể.