Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 1 Bài 1: Góc lượng giác của góc lượng giác

Bài 1 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho (OA, OM) = 40°. Gọi M' đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó số đo của góc lượng giác (OA, OM') bằng:

A. 40°+ k360°.

B. 140°+ k360°.

C. 220°+ k360°.

D. 50° + k360°.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Vì M, M' đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên M, O, M' thẳng hàng.

Ta có:

(OA, OM') = (OA, OM) + (OM, OM') + k360° = 40° + 180° + k360° = 220° + k360°.

Bài 2 trang 10 SBT Toán11 Tập1: Cho cosα=−25cosα=−25  với $\frac{\prod }{2}$<α<π . Khi đó, tan α bằng:

A. $\frac{\sqrt{21}}{5}$

B. $-\frac{\sqrt{21}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{21}}{2}$

D. $-\frac{\sqrt{21}}{5}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Vì $\frac{\prod }{2}$<α<π  nên tan α < 0.

Do đó, từ  1+$tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ , ta có 

Tanα= $-\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\alpha }-1} = -\sqrt{\frac{1}{(-\frac{2}{5})^{2} }-1} = . -\frac{\sqrt{21}}{2}$

Bài 3 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α + cot α = 2. Khi đó,tan2α + cot α bằng:

A. 8.

B. 4.

C. 16.

D. 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có tan α + cot α = 2

Suy ra (tan α + cot α)2 = 22 = 4.

Mà (tan α + cot α)2 = tan2α + 2tan α . cot α + cot2α

= tan2α + 2 . 1 + cot2α = tan2 α + cot2α + 2 = 4.

Do đó, tan2α + cot2α = 4 – 2 = 2.

Bài 4 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Kết quả thu gọn của biểu thức

A=sin(π+x)+$cos(\frac{\pi}{2}−x)+cot(2π−x)+tan(\frac{3\pi}{2}+x$ là:

A. – 2cot x.

B. 2tan x.

C. 2sin x.

D. – 2sin x.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

A=sin(π+x)+$cos(\frac{\pi}{2}−x)+cot(2π−x)+tan(\frac{3\pi}{2}+x $

=−sinx+sinx+cot(π+π−x)+$tan(π+\frac{\pi}{2}+x$

=cot(π−x)+$tan(\frac{\pi }{2} +x)$

=cot(−x)+$tan(π+x− \frac{\pi }{2})$

=−cotx−$tan(\frac{\pi }{2} −x)$

= -cotx – cotx 

= -2cotx

Bài 5 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α = 2. Khi đó giá trị của biểu thức A=$ \frac{sin^{2}\alpha -2sin\alpha.cos\alpha  }{cos^{2}\alpha +3sin^{2}\alpha }$ bằng: 

 A. 4.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0, hay cos2α ≠ 0, do đó chia cả tử và mẫu của A cho cos2α ta được:

A=$ \frac{tan^{2}\alpha -2tan\alpha }{1+3tan^{2}\alpha }$ 

A=$ \frac{2^{2}-2.2}{1+3.2^{2}}$ = 0

Bài 6 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OA, OE), (OA, OF).

Hướng dẫn trả lời:

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

ˆAOB=ˆBOC=ˆCOD=ˆDOE=ˆEOF=ˆFOA=60°= $ \frac{\pi }{3}$

 Khi đó, ta có:

(OA,OB)= $ \frac{\pi }{3}$ + k2π

(OA,OC)= $ \frac{2\pi }{3}$+k2π

(OA,OD)=π+k2π 

(OA,OE)=− $ \frac{2\pi }{3}$+k2π

(OA,OF)=− $ \frac{\pi }{3}$+k2π

Bài 7 trang 11 SBT Toán 11Tập1: Cho sinα=$\frac{1}{3}$  với α∈($\frac{\pi }{2}$;π). Tính cos α, tanα, cot α.

Hướng dẫn trả lời:

Vì α∈($\frac{\pi }{2}$;π)  nên cos α < 0.

Do đó từ sin2α + cos2α = 1, suy ra

cosα=−$\sqrt{1sin^{2}\alpha}$=−$\sqrt{1(\frac{1}{3})^{2}}$=−$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Khiđó, tanα=$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ = $-\frac{\sqrt{2}}{4}$

cotα= $\frac{1}{tan\alpha }$ = $\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}$ = $-2\sqrt{2}$

Bài 8 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cot x = – 3, $\frac{\pi }{2}$<x<π . Tính sin x, cos x, tan x.

Ta có: tanx=$\frac{1}{cotx}$ = $-\frac{1}{3}$

Áp dụng công thức 1+cot2x = $\frac{1}{sin^{2}x}$ , ta được sin2x = $\frac{1}{1+cot^{2}x}$ = $\frac{1}{1+(-3)^{2}}$ = $\frac{1}{10}$

Mà $\frac{\pi }{2}$<x<π  nên sin x > 0. Suy ra sinx = $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Khi đó từ cotx = $\frac{cosx}{sinx}$ , suy ra cos x = cot x . sin x = −3. $\frac{\sqrt{10}}{10}$ = $\frac{-3\sqrt{10}}{10}$

Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin4 x + cos4 x = 1 − 2sin2 x cos2 x;

b) sin6 x + cos6 x = 1 – 3sin2 x cos2 x.

Hướng dẫn trả lời:

a) VT = sin4 x + cos4 x

= (sin2 x)2 + (cos2 x)2 + 2sin2 x . cos2 x – 2sin2 x . cos2 x

= (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x . cos2 x

= 12 – 2sin2 x . cos2 x = 1 – 2sin2 x . cos2 x = VP (đpcm).

b) VT = sin6 x + cos6 x

= (sin2 x)3 + (cos2 x)3

= (sin2 x + cos2 x)3 – 3sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)

= 13 – 3sin2 x cos2 x . 1

= 1 – 3sin2 x cos2 x  (đpcm).

Bài 10 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan x = − 2. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = $\frac{3sinx-5cosx}{4sinx+cosx}$

b) B = $\frac{2sin^{2}x-3sinxcosx-cos^{2}x}{sin^{2}x+sinxcosx}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì tan x xác định nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos x ta được:

A= $\frac{3sinx-5cosx}{4sinx+cosx}$ = $\frac{3tanx-5}{4tanx+1}$ = $\frac{3.(-2)-5}{4.(-2)+1}$ = $\frac{11}{7}$

b) Vì tan x xác định nên cos2 x khác 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos2 x ta được:

B = $\frac{2sin^{2}x-3sinxcosx-cos^{2}x}{sin^{2}x+sinxcosx}$ = $\frac{2tan^{2}x-3tanx-1}{tan^{2}x+tanx}$ = $\frac{2.(-2)^{2}-3.(-2)-1}{(-2)^{2}+(-2)}$ = $\frac{13}{2}$

Bài 12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) sin B = sin(A + C);

b) cosC = – cos(A + B + 2C);

c) $sin\frac{A}{2}$ = $cos\frac{B+C}{2}$

d) $tan\frac{A+B-2C}{2}=cot\frac{3C}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

a) Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C).

b) Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C

Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.

Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).

c) Ta có: $\frac{A+B+C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$, suy ra $\frac{B+C}{2}$ =$\frac{\pi }{2}$− $\frac{A}{2}$.

Nên $sin\frac{A}{2}$ = $cos\frac{B+C}{2}$

d) Ta có: $\frac{A+B-2C}{2}$ = $\frac{A+B+C-3C}{2}$ = $\frac{\pi -3C}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$-$\frac{3C }{2}$

Suy ra: $tan\frac{A+B-2C}{2}$ = $cot\frac{3C }{2}$

Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin α + cos α = $\frac{1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}$< α<0. Tính:

a) A = sinα . cos α;

b) B = sin α – cos α;

c) C = sin³ α + cos³ α;

d) D = sin4 α + cos4 α.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do sin α + cos α =  $\frac{1}{3}$ nên (sin α + cos α)2 = ($\frac{1}{3}$)2 = $\frac{1}{9}$.

Mà (sin α + cos α)2 = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = 1 + 2 sin α cos α.

Do đó, 1 + 2 sin α cos α = $\frac{1}{9}$. , suy ra A = sinα . cos α = $\frac{\frac{1}{9}-1}{2}$ = $-\frac{4}{9}$

b) Ta có: B2 = (sin α – cos α)2 = 1 – 2 sin α cos α = 1−2.$ (-\frac{4}{9})=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$

Do $\frac{\pi }{2}$< α<0  nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.

Vậy B = −$\frac{\sqrt{17}}{3}$

c) Ta có:

C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)3 – 3 sin α cos α(sin α + cos α)

= $(\frac{1}{3})$3-3.$ (-\frac{4}{9})$.$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{27}$

d) Ta có:

D = sin4 α + cos4 α = 1 – 2sin2 α cos2 α (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin α cos α)2 = 1−2.($ -\frac{4}{9}$)2=$\frac{49}{81}$

Bài 14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).

Hướng dẫn trả lời:

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng – 2π (rad).

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng $\frac{-2\pi }{15}.10=\frac{-4\pi }{3}$ (rad)