Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim$\frac{1}{2^{n}}$=0

B. lim$(\frac{3}{2})^{n}$=0

C. lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$ =0

D. lim$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$=0

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Vì limqn = 0 với |q| < 1 nên ta có:

lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$=lim$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$=0 do 

lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$ =lim$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$=0do 

lim$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$ = 0 do 

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì  nên lim$(\frac{3}{2})^{n}$ ≠0, do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(un + vn) = a + b.

B. lim(un – vn) = a – b. 

C. lim(un . vn) = a . b.

D. lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a-b}{b}$
Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$  bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$=0

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C > 0 thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$  = +∞.

B. Nếu limun = −∞ và limvn = C, C < 0 thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$  = +∞.

C. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$  = 0.  

D. Nếu limun = –∞ và limvn = C, C > 0 thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$ =−∞ .

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim$ \frac{u_{n}}{v_{n}}$ = –∞ nên đáp án C sai. 

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Nếu limun = a thì $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.

D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$ 

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $lim\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=0$

Hướng dẫn trả lời:

Xét dãy số (un) có un=$\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ 

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: 

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn  $\frac{1}{\sqrt{h}}$ thì |un| < h.

Suy ra $lim\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=0$

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un=$3-\frac{4}{n+1}$, vn=$8-\frac{5}{3n^{2}+2}$. Tính: 

a) limun, limvn;

b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un . vn), $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$ .
Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có

limun=lim($3-\frac{4}{n+1}$)=lim3−lim$\frac{4}{n+1}$=3−0=3

limvn=lim($8-\frac{5}{3n^{2}+2}$)=lim8−lim$\frac{5}{3n^{2}+2}$=8−0=8

b) Ta có

lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 8 = 11;

lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 8 = – 5;

lim(un . vn) = limun . limvn = 3 . 8 = 24;

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$=$\frac{limu_{n}}{limv_{n}}=\frac{3}{8}$

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim$ \frac{4n+2}{3}$

b) lim$ \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$

c) lim$ \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^{n}}$

d) lim(6-$ \frac{5}{4^{n}}$)

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì lim(4n + 2) = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, lim$ \frac{4n+2}{3}$=+∞

b) Vì lim(3n + 4) 

 = lim (n . 3) = +∞

và lim(−5+$\frac{2}{n}$)=lim(−5)+lim$\frac{2}{n}$=−5< 0.

Do đó, lim$ \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$=−∞

c) Vì lim(−3+$\frac{1}{n+1}$)=lim(−3)+lim$\frac{1}{n+1}$=-3 và lim5n = +∞.

Nên lim$ \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^{n}}$=0 

d) lim(6−$\frac{5}{4^{n}}$) =lim6−lim$\frac{5}{4^{n}}$=6−lim(5.$ \frac{1}{4^{n}}$

=6−5lim($\frac{1}{4}$)n=6−5.0=6

Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim$ \frac{6n-5}{3n}$

b) lim$ \frac{-2n^{2}-6n+2}{8n^{2}-5n+4}$

c) lim$ \frac{n^{3}-5n+1}{3n^{2}-4n+2}$

d) lim$ \frac{-4n+1}{9n^{2}-n+2}$

e) lim$ \frac{\sqrt{4n^{2}+n+1}}{8n+3}$

g) lim$ \frac{4^{n}+5^{n}}{3.4^{n}-4.5^{n}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) lim$ \frac{6n-5}{3n}$=$ lim\frac{n(6-\frac{5}{n})}{3n}=lim\frac{6-\frac{5}{n}}{3}=\frac{lim(6-\frac{5}{n})}{lim3}=\frac{6}{3}=2$

b) lim$ \frac{-2n^{2}-6n+2}{8n^{2}-5n+4}$=$ lim\frac{n^{2}(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^{2}})}{n^{2}(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^{2}})}=lim\frac{-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^{2}}}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}$

c) lim$ \frac{n^{3}-5n+1}{3n^{2}-4n+2}$=$ lim\frac{n^{3}(1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})}{n^{3}(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}})}=lim\frac{1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}}=\frac{lim(1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}}=+\infty$

d) lim$ \frac{-4n+1}{9n^{2}-n+2}$=$ lim\frac{n^{2}(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}})}=lim\frac{\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{lim(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{lim(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}})}=\frac{0}{9}=0$

e) lim$ \frac{\sqrt{4n^{2}+n+1}}{8n+3}$=$ lim\frac{\sqrt{n^{2}(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}}{n(8+\frac{3}{n})}=lim\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{8+\frac{3}{n}}=\frac{lim(\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}})}{lim(8+\frac{3}{n})}=\frac{\sqrt{lim(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}}{lim(8+\frac{3}{n})}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{1}{4}$

g) lim$ \frac{4^{n}+5^{n}}{3.4^{n}-4.5^{n}}$=$ lim\frac{5^{n}(\frac{4^{n}}{5^{n}}+1)}{5^{n}(\frac{3.4^{n}}{5^{n}}-4)}=lim\frac{(\frac{4}{5})^{n}+1}{3.(\frac{4}{5})^{n}-4}$ 

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u1=$ \frac{5}{4}$,q=$ \frac{-1}{3}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u1=$ \frac{5}{4}$,q=$ \frac{-1}{3}$ là:

S=$ \frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{5}{4}}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{15}{16}$

b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 0,3 và công bội q=$ \frac{1}{10}$< 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... =$ \frac{0,3}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$

Vậy 2,(3) = 2 + $ \frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).

b) Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).

c) Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo đề bài ta có, hn=$\frac{1}{4}$hn-1 nên (hn) là một cấp số nhân với h1 =$\frac{1}{4}$.100=25 và công bội q=$\frac{1}{4}$

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (hn): hn=u1qn−1=25.($\frac{1}{4}$)n−1=$\frac{100}{4^{n}}$ .

b) Ta có: limhn = lim$\frac{100}{4^{n}}$=lim(100.$\frac{1}{4^{n}}$)=lim100.lim($\frac{1}{4}$)n=100.0=0

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: Sn=100+2($\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+...+\frac{100}{4^{n}}+...$)

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: limSn=100+2($\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+...+\frac{100}{4^{n}}+...$)

Vì $ \frac{100}{4};\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}};...\frac{100}{4^{n}};...$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với u1=$\frac{100}{4}$ và công bội q=$\frac{1}{4}$<1 nên ta có limSn=100+2.$ \frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$ m.