Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 2 Bài 1:Dãy số

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = 2 và un= $\frac{u_{n-1}+1}{2}$ với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1;$ \frac{3}{2}$

B. 2;$ \frac{3}{2}$;$\frac{5}{2}$

C. 2;$ \frac{3}{2}$;$\frac{5}{4}$

D. 2;$ \frac{3}{2}$; 2.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u1 =2; u2=$\frac{u_{1}+1}{2}$=$\frac{3}{2}$; u3=$\frac{u_{2}+1}{2}$=$\frac{3}{2}$

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un=$\frac{2n^{2}-1}{n^{2}+2}$. Số hạng u10 là:

A. $\frac{19}{12}$

B. $\frac{33}{34}$

C. $\frac{199}{102}$

D. $\frac{3}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có u10=$\frac{2.10^{2}-1}{10^{2}+2}$=$\frac{199}{102}$

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un=$\frac{n+1}{3n-2}$. Với uk=$\frac{8}{19}$  là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Giả sử uk=$\frac{8}{19}$  là một số hạng của dãy số (un).

Khi đó k ∈ ℕ* và uk=$\frac{k+1}{3k-2}$ = $\frac{8}{19}$, suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = 3n. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n . 3.

B. 3n + 3.

C. 3n + 1.

D. 3(n + 1).

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có un+1 = 3n + 1 = 3n . 31 = 3n . 3.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. un=$\frac{3n-1}{n+1}$

B. un = n3.

C. un=$\frac{1}{3^{n+1}}$

D. un=$\sqrt{n}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

un+1−un=$\frac{1}{3^{n+1+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3^{n+2}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{3^{n+1}-3^{n+2}}{3^{n+1}.3^{n+2}}=\frac{3.3^{n}-9.3^{n}}{3^{n+1}.3^{n+2}}=\frac{-6.3^{n}}{3^{n+1}.3^{n+2}}<0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Suy ra un + 1 – un < 0, tức là un + 1 < un.

Vậy dãy số (un) với un=$\frac{1}{3^{n+1}}$ là dãy số giảm.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = cos n. Dãy số (un) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.  

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Khi đó dãy số (un) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (un), biết un = 3n – 1.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có u1 = 3 . 1 – 1 = 2; u2 = 3 . 2 – 1 = 5;

u3 = 3 . 3 – 1 = 8; u4 = 3. 4 – 1 = 11;

u5 = 3 . 5 – 1 = 14; u6 = 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (un) là 57.

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = 2 và un=$\sqrt{2+u_{n-1}^{2}}$. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát un.

Hướng dẫn trả lời:

Năm số hạng đầu của dãy số (un) là: u1 = 2;

u2 =$\sqrt{2+u_{1}^{2}}=\sqrt{2+2^{2}}=\sqrt{6}$

u3 =$\sqrt{2+u_{2}^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{6}^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

u4 =$\sqrt{2+u_{3}^{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{10}$

u5 =$\sqrt{2+u_{4}^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{10}^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Ta thấy 2=$\sqrt{2.(1+1)};\sqrt{6}=\sqrt{2.(2+1)};\sqrt{8}=\sqrt{2.(3+1)};\sqrt{10}=\sqrt{2.(4+1)};\sqrt{12}=\sqrt{2.(5+1)}$

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là un=$\sqrt{2.(n+1)}$

với mọi n ≥ 2. 

Bài 9 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số y=$ \frac{2x-1}{2x^{2}+1}$ có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (un), biết un là tung độ của điểm An. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát un.

Hướng dẫn trả lời:

Với x = n, ta có yn=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$, suy ra An(n;$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$) 

Vì dãy số (un) có un là tung độ của điểm An, do đó un=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$

Vậy công thức của số hạng tổng quát là un=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$

Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1 : Cho dãy số (un), biết 

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng un + 4 = un với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Hướng dẫn trả lời:

a) Bốn số hạng đầu của dãy số (un) là:

Vậy un + 4 = un với mọi n ≥ 1.

c) Theo câu b) ta có un + 4 = un với mọi n ≥ 1.

Do đó, u1 = u5 = u9, u2 = u6 = u10, u3 = u7 = u11, u4 = u8 = u12.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

u1 + u2 + u3 + u4 + ... + u12 = 3(u1 + u2 + u3 + u4)

                                        = 3$ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2})$ 

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:

a) un = 2n + 3;

b) un = 3n – n;

c) un=$ \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$

d) un = sin n.  

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có un + 1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét un + 1 – un = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un = 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có un + 1 = 3n + 1 – (n + 1) = 3 . 3n – n – 1.

Xét un + 1 – un = (3 . 3n – n – 1) – (3n – n) = 3 . 3n – 3n – 1 = 2 . 3n – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un = 3n – n là dãy số tăng.

c) Ta có un + 1 = $ \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}}{2.2^{n}}$

Xét  un+1−un=$ \frac{\sqrt{n+1}}{2.2^{n}}- \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}= 2.2^{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n})$<0 với mọi n ∈ ℕ*.

(do – 3n + 1 < 0, 2n > 0 và  với mọi n ∈ ℕ*).

Do vậy, un + 1 < un với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un là dãy số giảm.

d) Xét hiệu:

 H=un+1−un=sin(n+1)−sinn=$2cos\frac{n+1+n}{2}sin\frac{n+1-n}{2}=2cos\frac{2n+1}{2}sin\frac{1}{2}$

Với ∀n∈N ta không thể xác định dấu của $cos\frac{2n+1}{2}$, tức là ta không thể kết luận H>0 hay H<0
Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un=$\frac{an+2}{n+1}$ với a là số thực. Tìm a để dãy số (un) là dãy số tăng.
Hướng dẫn trả lời:

Ta có un+1 =$\frac{a(n+1)+2}{n+1+1}=\frac{an+a+2}{n+2}$

Xét un+1−un=$\frac{an+a+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{(an+a+2)(n+1)-(an+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{an^{2}+an+an+a+2n+2-an^{2}-2an-2n-4}{(n+2)(n+1)}=\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$

Để dãy số (un) là dãy số tăng thì un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ* hay un + 1 – un > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$>0với mọi n ∈ ℕ*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Nên $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$ >0⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (un) là dãy số tăng khi a > 2.

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Dãy số (un) với un=$\sqrt{n^{2}+1}$ bị chặn dưới;

b) Dãy số (un) với un = – n2 – n bị chặn trên;  

c) Dãy số (un) với un=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có n2 ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, $\sqrt{n^{2}+1}\geq \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) với un bị chặn dưới.

b) Ta có – n2 – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) với un = – n2 – n bị chặn trên.

c) Ta có $\frac{2n+1}{n+2}$>0 với mọi n ∈ ℕ*. Do đó, dãy số (un) với un=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{2n+1}{n+2}$=$\frac{2(n+2)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$<2 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) với un=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (un) với un=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Bài 14 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi un là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (un). Tìm công thức của số hạng tổng quát un.

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng $(\frac{360}{n+6})^{\circ}$. Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là un=$\frac{1}{2}.\frac{360}{n+6}.n=\frac{180n}{n+6}$