Giải toán 10 KNTT bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

HĐ1: Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = $0,5x^{2}$             B = $1-x^{2}$          C = $x^{2}+x+1$                   D = (1-x)(2x+1).

Trả lời: 

Các biểu thức đểu có dạng: $ax^{2}+bx+1$, với a, b, c là các số thực và a khác 0.

LT1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai      

A = $3x+2\sqrt{x}+1$                               B = $-5x^{4}+3x^{2}+4$

C = $-\frac{2}{3}x^{2}+7x-4$                    D = $\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+2\frac{1}{x}+3$.

Trả lời: C

HĐ2: Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=x^{2}-4x+3$.

a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )$, đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Trả lời: 

a) a = 1

$f(0)=0^{2}-4.0+3=3$, cùng dấu với a

$f(1)=1^{2}-4.1+3=0$, không mang dấu

$f(2)=2^{2}-4.2+3=-1$, trái dấu với a

$f(3)=3^{2}-4.3+3=0$, không mang dấu.

$f(4)=4^{2}-4.4+3=3$, cùng dấu với a

b) $(-\infty ;1)$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.

(1; 3): đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

$(3;+\infty )$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c) $(-\infty ;1)$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

(1; 3): f(x) và hệ số a trái dấu.

$(3;+\infty )$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

HĐ3: Cho đồ thị hàm số $y=g(x)=-2x^{2}+x+3$ như Hình 6.18.

a) Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1);\left (-1;\frac{3}{2}\right );\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$, đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?

b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Trả lời:

a) 

$(-\infty ;1)$: đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

$\left (-1;\frac{3}{2}\right )$: đồ thị nằm phía trên trục hoành.

$\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$: đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

b) 

$(-\infty ;1)$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

$\left (-1;\frac{3}{2}\right )$: f(x) và hệ số a trái dấu.

$\left ( \frac{3}{2};+\infty  \right )$: f(x) và hệ số a cùng dấu.

HĐ4: Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

Trường hợp a > 0

Trường hợp a < 0

Trả lời:

Trường hợp a < 0

LT2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $-3x^{2}+x-\sqrt{2}$            b) $x^{2}+8x+16$           c) $-2x^{2}+7x-3$

Trả lời: 

a) Xét f(x) =$-3x^{2}+x-\sqrt{2}$ có $\Delta =1-12\sqrt{2}<0$ và a = -3 < 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Xét g(x) = $x^{2}+8x+16$ có $ \Delta =0$ và a = 1 > 0 nên g(x) có nghiệm kép x = -4 và g(x) > 0 với mọi x $\neq -4$.

c) Xét h(x) = $-2x^{2}+7x-3$ có $ \Delta = 25>0$, a = 1 > 0 và có hai nghiệm phân biệt $x_{1}=3; x_{2}= 0,5$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra h(x) > 0 với mọi $x\in (0,5; 3)$ và h(x) < 0 với mọi $x\in (-\infty ;0,5)\cup (3;+\infty )$

2. Bất phương trình bậc hai

HĐ5: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m2, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = $ -2x^{2}+2-x$ với 48.

Trả lời:$-2x^{2}+2-x\leq 48$.

LT3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $-5x^{2}+x-1\leq 0$       b) $x^{2}-8x+16\leq 0 $           c) $x^{2}-x+6> 0 $ 

Trả lời: 

a) Tam thức f(x) = $-5x^{2}+x-1$ có $ \Delta = -19<0$, a = -5 < 0 nên f(x) luôn âm. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = $\mathbb{R}$

b) Tam thức f(x) = $x^{2}-8x+16$ có $ \Delta =0$ và a = 1 > 0 nên f(x) $\geq >0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

c) Tam thức f(x) = $x^{2}-x+6$ $ \Delta = -23<0$, a = 1 > 0 nên f(x) luôn dương. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = $\mathbb{R}$

Vận dụng: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lê theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm só bậc hai h(t) = $-4,9t^{2}+20t+1$, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Trả lời:

Ta xét bất phương trình: $-4,9t^{2}+20t+1 > 5$

$\Leftrightarrow -4,9t^{2}+20t -4>0$

Xét tam thức f(x) = $-4,9t^{2}+20t -4$ có $ \Delta = \frac{1608}{5}> 0$ , a = -4,9 < 0, có hai nghiệm $t_{1}\approx 3,87$ và $t_{2}\approx 0,21$.

Khoảng thời điểm để trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất là 0,21< x< 3,87.