Giải toán 10 KNTT bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Hoán vị

HĐ1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Trả lời:

a) Ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự:

Hà - Mai - Nam - Đạt; Hà - Nam - Mai - Đạt; Hà - Đạt - Nam - Mai.

b) Số cách chọn vị trí cho Hà là 4,

Số cách chọn vị trí cho Mai là 3, 

Số cách chọn vị trí cho Nam là 2,

Số cách chọn vị trí cho Đạt là 1.

Vậy số cách sắp xếp thứ tự 4 bạn là: 4.3.2.1 = 24 cách.

LT1: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Trả lời: 

Số cách sắp xếp các vận động viện vào các đường chạy là hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp là: 6! = 720 cách.

2. Chỉnh hợp

HĐ2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.

a) Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?

b) Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?

Trả lời:

a) Vì hai bạn có vai trò như nhau nên số cách chọn là: 4.3 : 2 = 6 cách.

b) Chọn 2 bạn trong 4 bạn thì theo a số cách chọn là 6 cách.

Sau khi chọn 2 bạn, ta xếp vai trò 1 bạn làm nhóm trưởng, 1 bạn làm nhóm phó thì có 2 cách lựa chọn.

Vậy số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 6.2 = 12 cách.

LT2: Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Trả lời: 

Chọn 3 con ngựa từ 12 con ngựa, rồi xếp thứ tự chúng là chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử, nên số kết quả có thể xảy ra là: $A_{12}^{3}=1320$

3. Tổ hợp

HĐ3: Trở lại HĐ2

a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b

b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Trả lời:

a) Ở HĐ2a ta chỉ chọn 2 bạn từ 4 bạn, còn ở HĐ2b ta chọn 2 bạn và sắp xếp thứ tự 2 bạn.

b) Kết quả ở câu HĐ2b là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần từ, nên số cách chọn là: $A_{4}^{2}=12$

Ở câu HĐ2a, vì không cần sắp thứ tự nên số cách chọn sẽ giảm đi 2!, vậy số cách chọn là: $\frac{A_{4}^{2}}{2!}=6$

LT3: Trong ngân hàng để kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?

Trả lời: 

Chọn 2 câu trong 20 câu lí thuyết là tổ hợp chập 2 của 20 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{20}^{2}$ = 190 cách.

Chọn 3 câu trong 40 câu bài tập là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử, nên số cách chọn là: $C_{40}^{3}$ = 9880 cách.

Số cách chọn 5 câu hỏi theo cách trên là: 190.9880 = 1 877 200 cách.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Vận dụng: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

a) có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?

b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?

Trả lời:

a) Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: $C_{20}^{6}$ = 38760 cách.

b) Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: $C_{20}^{6}$ = 38760 cách.

Chọn 1 trường ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là: 38760.6.5 = 1 162 800 cách.