Giải sách bài tập Toán 8 chân trời bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải bài tập 1 trang 13 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Tính

a) $(4x – 5)^{2}$;

b) $(3x + \frac{1}{3}y)^{2}$

c) $(–x + 0,3)^{2}$;

d) $(–x – 10y)^{2}$;

e) $(a^{3} – 3a)^{2}$;

g) $(a^{4}+ \frac{1}{2} a^{2})^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4x – 5)^{2} = (4x)^{2} ‒ 2.4x.5 + 5^{2} = 16x^{2} ‒ 40x + 25.$

b) $(3x + \frac{1}{3}y)^{2}$

$= (3x)^{2} + 2.3x.\frac{1}{3}y+ (frac{1}{3}y)^{2}$

$= 9x^{2} + 2xy + \frac{1}{9}y^{2}$

c) $(–x + 0,3)2 = (‒x)^{2} + 2.(‒x).0,3 + 0,3^{2} = x^{2} ‒ 0,6x + 0,09.$

d)$ (–x – 10y)^{2} = (‒x)^{2} + 2.(‒x).(‒10y) + (‒10y)^{2}$

$= x^{2} + 20xy + 100y^{2}.$

e)$(a^{3} – 3a)^{2} = (a^{3})^{2} ‒ 2.a^{3}.3a + (3a)^{2}$

$= a^{6} + 6a^{4} + 9a^{2}$.

g)$(a^{4} + \frac{1}{2}a^{2})^{2}$

$= (a^{4})^{2} + 2.a^{4}.\frac{1}{2}a^{2}+(\frac{1}{2}a^{2})^{2}$

$= a^{8} + a^{6}+ \frac{1}{4}$

Giải bài tập 2 trang 13 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(1 – 4x)(1 + 4x)$;

b)$ (–2x – 5y)(2x – 5y)$;

c)$ (x^{3} – 3x)(3x + x^{3})$;

d)$ (1 + x + x^{2})(1 + x – x^{2}).$

Hướng dẫn trả lời:

a)$ (1 – 4x)(1 + 4x) = 12‒ (4x)^2 = 1 ‒ 16x^{2}.$

b)$(–2x – 5y)(2x – 5y)= ‒[(2x + 5y)(2x – 5y)]$

=$‒ [(2x)^{2} ‒ (5y)^{2}] = ‒(4x^{2} ‒ 25y^{2}) = 25y^{2} ‒ 4x^{2}$.

c) $(x^{3} – 3x)(3x + x^{3}) = (x^{3})^{2}‒ (3x)^{2} = x^{6} ‒ 9x^{2}$.

d)$ (1 + x + x^{2})(1 + x – x^{2}) = (1 + x)^{2} ‒ (x^{2})^{2}$

=$ 1 + 2.1.x + x^{2} ‒ x^{4} = 1 + 2x + x^{2} ‒ x^{4}$.

Giải bài tập 3 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Tính nhanh:

a) $50,5^{2} – 50,4^{2}$;

b) $202.198$;

c) $10,2^{2}$;

d) $101^{2} – 202.71 + 71^{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $50,5^{2} – 50,4^{2} = (50,5 ‒ 50,4)(50,5 + 50,4) = 100,9.0,1 = 10,09$.

b) $202.198 = (200 + 2)(200 ‒ 2) = 200^{2} ‒ 2^{2} = 40000 ‒ 4 = 39996$.

c) $10,2^{2} = (10 + 0,2)^{2} = 10^{2} + 2.10.0,2 + 0,2^{2} = 100 + 4 + 0,04 = 104,04$.

d) $101^{2} – 202.71 + 71^{2} = 101^{2} – 2.101.71 + 71^{2} = (101 ‒ 71)^{2} = 30^{2} = 900$.

Giải bài tập 4 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = (x – 10)^{2} – x(x + 80) $tại $x = 0,87$;

b) $Q = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} $tại $a = 65$ và $b = 35;$

c) $R = x^{3} − 3x^{2} + 3x − 1$ tại$ x = 101$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $P = (x – 10)^{2} – x(x + 80)$

$= x^{2} ‒ 2.x.10 + 10^{2} ‒ x^{2} ‒ 80x$

=$ x^{2} ‒ 20x + 100 ‒ x^{2} ‒ 80x$

=$ (x^{2} ‒ x^{2})+ (‒20x ‒ 80x) + 100$

=$ ‒ 100x + 100 = 100(1 ‒ x).$

Với$ x = 0,87$ ta có:

$P = 100(1 ‒ 0,87) = 100.0,13 = 13$.

b) $Q = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} = (2a)^{2} + 2.2a.2b + (2b)^{2} = (2a + 2b){2}$

Với $a = 65$ và$ b = 35 $ta có:

$Q = (2.65 + 2.35)^{2} = 200^{2} = 40000$.

c)$ R = x^{3} − 3x^{2} + 3x − 1 = (x ‒ 1)^{3}$

Với$ x = 101$ ta có:

$R = (101 ‒ 1)^{3} = 100^{3} = 1000000$.

Giải bài tập 5 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Thu gọn các biểu thức sau:

a) $20x^{2} – (5x – 4)(4 + 5x)$;

b) $(x – y)^{2} – x(x + 2y)$;

c) $(x + 3)^{3}(x – 3)^{3}$;

d) $x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x^{2} + 3x + 9)$

Hướng dẫn trả lời:

a)$ 20x^{2} – (5x – 4)(4 + 5x)$

=$ 20x^{2} – [(5x – 4)(5x + 4)]$

=$20x^{2} ‒ [(5x)^{2} ‒ 4^{2}]$

= $20x^{2} ‒ (25x^{2} ‒16)$

= $20x^{2} ‒ 25x^{2} + 16$

= $16 ‒ 5x^{2}$.

b) $(x – y)^{2} – x(x + 2y)$

= $x^{2} ‒ 2xy + y^{2} ‒ x^{2} ‒ 2xy$

= $(x^{2} ‒ x^{2}) + (‒2xy ‒ 2xy) + y^{2}$

= $‒4xy + y^{2}.$

c) $(x + 3)^{3}‒(x – 3)^{3}$

= $x^{3} + 3.x^{2}.3 + 3.x.3^{2} + 27 ‒ (x^{3} ‒3.x^{2}.3 + 3.x.3^{2}‒ 27)$

= $x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27 ‒ x^{3} +9x^{2} ‒27x + 27$

= $(x^{3} ‒ x^{3}) + (9x^{2} + 9x^{2}) + (27x ‒27x) + 27 + 27$

= $18x^{2} + 54.$

d) $x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x^{2} + 3x + 9)$

= $x[(x – 1)(x + 1)] ‒ (x^{3} ‒3^{3})$

= $x(x^{2} ‒ 1) ‒(x^{3} – 27)$

= $x^{3} ‒ x ‒ x^{3} + 27$

= $(x^{3} ‒ x^{3}) ‒ x + 27$

= $27 ‒ x.$

Giải bài tập 6 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Biết rằng x = 2a + b và y = 2a – b. Tính các biểu thức sau theo a và b.

a) $A = \frac{1}{2}xy$

b) $B=x^{2} + y^{2}$

c) $C = x^{2} - y^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức $A = \frac{1}{2}xy$ ta được:

$A = \frac{1}{2}(2a+b)(2a-b) = \frac{1}{2}((2a)^{2}-b^{2}) =\frac{1}{2}(4a^{2} - b^{2}) = 2a^{2}-\frac{1}{2}b^{2}$

b) Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức B = x2 + y2, ta được:

$B = (2a + b)^{2} + (2a ‒ b)^{2}$

= $(2a)^{2} + 2.2a.b + b^{2} + (2a)^{2} ‒ 2.2a.b + b^{2}$

= $4a^{2} + 4ab + b^{2} + 4a^{2} ‒ 4ab + b^{2}$

= $(4a^{2} + 4a^{2}) + (4ab ‒ 4ab) + (b^{2} + b^{2})$

= $8a^{2} + 2b^{2}$.

c) Cách 1:

Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức$C = x^{2} – y^{2}$, ta được:

$C = (2a + b)^{2}‒ (2a ‒ b)^{2}$

= $(2a)^{2} + 2.2a.b + b^{2} ‒ [(2a)^{2} ‒ 2.2a.b + b^{2}]$

= $4a^{2} + 4ab + b^{2} ‒ 4a^{2} + 4ab ‒ b^{2}$

= $(4a^{2} ‒ 4a^{2}) + (4ab + 4ab) + (b^{2} ‒ b^{2})$

= $8ab$.

Cách 2:

Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức $C = x^{2} – y^{2}$, ta được:

$C = (2a + b)^{2}‒ (2a ‒ b)^{2}$

= $[(2a + b) – (2a – b)].[(2a + b) + (2a – b)]$

= $(2a + b – 2a + b)(2a + b + 2a – b)$

= $2b.4a = 8ab.$

Giải bài tập 7 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Chứng minh rằng:

a) $337^{3} + 163^{3}$ chia hết cho 500;

b) $234^{3} – 123^{3}$ chia hết cho 3.

Hướng dẫn trả lời:

a) $337^{3} + 163^{3}$

= $(337 + 163)(337^{2} ‒ 337.163 + 163^{2})$

= $500.(337^{2} ‒ 337.163 + 163^{2})$ chia hết cho 500 do $337^{2} ‒ 337.163 + 163^{2}$ là một số nguyên.

Vậy $337^{3} + 163^{3}$ chia hết cho 500.

b) $234^{3} – 123^{3}$

= $(234 ‒ 123)(234^{2} + 234.123 + 123^{2})$

= $111.(234^{2} + 234.123 + 123^{2})$

Ta có 111 chia hết cho 3 (do có tổng các chữ số 1 + 1 + 1 = 3 chia hết cho 3) và $234^{2} + 234.123 + 123^{2}$ là một số nguyên.

Vậy $234^{3} – 123^{3}$ chia hết cho 3.

Giải bài tập 8 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n

a)$(2n + 1)^{2} − (2n − 1)^{2}$ chia hết cho 8;

b)$(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^2$ chia hết cho 15.

Hướng dẫn trả lời:

a) $(2n +1)^{2} ‒ (2n ‒ 1)^{2}$

= $(2n + 1 + 2n ‒ 1)(2n +1 ‒ 2n + 1)$

= $4n.2 = 8n.$

Vì 8n chia hết cho 8 nên $(2n +1)^{2} ‒ (2n ‒ 1)^{2}$ chia hết cho 8.

b) $(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^{2}$

= $(8n + 4 + 2n + 1)(8n + 4 ‒ 2n ‒ 1)$

= $(10n + 5)(6n + 3)$

= $5.(2n + 1).3(2n + 1)$

= $15(2n + 1)^{2}$

Vì 15 chia hết cho 15 nên $15(2n + 1)^{2}$ chia hết cho 15, do đó $ (8n + 4)^{2} − (2n + 1)^{2}$ chia hết cho 15.

Vậy $(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^{2}$ chia hết cho 15.

Giải bài tập 9 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.

a) $(a + *)^{2} = a^{2} + 4ab + 4b^{2}$;

b) $(x – *)^{2} = x^{2} – 8ax + 16a^{2}$;

c) $(* – 5y)^{2} = 0,16x^{2} – * + 25y^{2}$;

d) $(3x – 0,5y)^{2} = 9x^{2} + 0,25y^{2} + *.$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $a^{2} + 4ab + 4b^{2} = a^{2} + 2.a.2b + (2b)^{2} = (a + 2b)^{2}$.

Vậy dấu * thay bằng 2b.

b) $x^{2} – 8ax + 16a^{2} = x^{2} ‒ 2.x.4a + (4a)^{2} = (x ‒ 4a)^{2}$.

Vậy dấu * thay bằng 4a.

c) $0,16x^{2} = (0,4x)^{2}; 25y^{2} = (5y^{2})$

$(0,4x ‒ 5y)^{2} = (0,4x)^{2} ‒ 2.0,4x.5y + (5y{2}) = 0,16x^{2} ‒ 4xy + 25y^{2}$

Vậy các dấu * thay lần lượt bằng 0,4x và 4xy.

d) $(3x – 0,5y)^{2} = (3x)^{2} ‒ 2.3x.0,5y + (0,5y)^{2} = 9x^{2} ‒ 3xy + 0,25y^{2}$

Vậy dấu * thay bằng ‒3xy .

Giải bài tập 10 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(x^{2} + 4y^{2}) (x + 2y)(x – 2y)$;

b) $(x – 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x4 + 1).$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x^{2} + 4y^{2})(x + 2y)(x – 2y)$

= $(x^{2} + 4y^{2})[(x + 2y)(x – 2y)]$

= $(x^{2} + 4y^{2})[x^{2}‒ (2y)^{2}]$

= $(x^{2} + 4y^{2})(x^{2} + 4y^{2})$

= $(x^{2})^{2} ‒ (4y^{2})^{2} = x^{4} ‒ 16y^{4}$.

b) $(x – 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1)$

= $[(x – 1)(x + 1)](x^{2} + 1)(x^{4} + 1)$

= $(x^{2} ‒ 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1)$

= $[(x^{2} ‒ 1)(x^{2} + 1)](x^{4} + 1)$

= $[(x^{2})^{2} ‒ 12](x^{4} + 1)$

= $(x^{4} ‒ 1)(x^{4} + 1)$

= $(x^{4})^{2} ‒ 1 = x^{8} ‒ 1.$

Giải bài tập 11 trang 14 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a + b)^{2}‒(a – b)^{2} = 4ab$;

b) $a^{3} + b^{3} = (a + b)[(a – b)^{2} + ab]$;

c) $2(a – b)(a + b) + (a + b)^{2} + (a – b)^{2} = 4a^{2}$;

d) $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $(a + b)^{2}‒(a – b)^{2}$

= $(a + b + a ‒ b)(a + b ‒ a + b)$

= $2a.2b = 4ab$.

b) $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} ‒ ab + b^{2})$

= $(a + b)(a^{2} ‒ 2ab + b^{2} + ab)$

= $(a + b)[(a ‒b)^{2} + ab]$.

c) $2(a – b)(a + b) + (a + b)^{2} + (a – b)^{2}$

= $(a + b){2} + 2(a + b)(a – b)+ (a – b)^{2}$

= $(a + b + a ‒ b)^{2} = (2a)^{2} = 4a^{2}$.

d) $(a + b + c)^{2} = [(a + b) + c]^{2}$

= $(a + b)^{2} + 2(a + b)c + c^{2}$

= $a^{2} + 2ab + b^{2} + 2ac + 2bc + c^{2}$

= $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc$.