Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Cánh diều Chương 1 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 15 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{7}$  và tanb = $\frac{3}{4}$.  Khi đó, tan(a + b) bằng:

A. 1.

B. $\frac{-17}{31}$

C. $\frac{17}{31}$

D. – 1.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có tan(a+b)= $\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}.\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1$

Bài 16 trang14SBTToán11Tập1: Nếu sinα= $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với 0<α<$\frac{\pi }{2}$  thì giá trị của cos(α+$\frac{\pi }{3}$) bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$

B. $\sqrt{6}-3$

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}-3$

D. \sqrt{6}-\frac{1}{2}

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Vì 0<α< $\frac{\pi }{2}$  nên cos α > 0, do đó từ sin2 α + cos2 α = 1, suy ra

Cosα = $\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Tacó $cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=cosαcosfrac{\pi}{3}−sinαsinfrac{\pi }{3}$= $\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$

Bài 17 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu sinα=$\frac{2}{3}$thì giá trị của biểu thức P=(1−3cos2α)(2+3cos2α)  bằng:

A. $\frac{11}{9}$

B. $\frac{12}{9}$

C. $\frac{13}{9}$

D. $\frac{14}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có P=(1−3cos2α)(2+3cos2α)

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. sin4x+cos4x= $\frac{3-cos4x}{4}$

B. sin4x+cos4x= $\frac{3+cos4x}{4}$.

C. sin4x+cos4x= $\frac{3-cos4x}{2}$.

D. sin4x+cos4x= $\frac{3-cos4x}{2}$ .

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có sin4 x + cos4 x = 1 – 2sin2 x cos2 x (theo Bài 9a)

= 1 – 2(sinxcosx)2 = 1 – 2$(\frac{sin2x}{2})^{2}=1-\frac{2(1-cos^{2}2x)}{4}=1-\frac{2-2cos^{2}2x}{4}=\frac{4-2+2cos^{2}2x}{4}=\frac{3+(2cos^{2}2x)-1}{4}=\frac{3+cos4x}{4}$

Vậy sin4x+cos4x=$\frac{3+cos4x}{4}$

Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . ($-\frac{1}{2}$). cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu cosa=$\frac{3}{4}$  thì giá trị của $cos\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}$ bằng:

A. $\frac{23}{16}$

B. $\frac{7}{8}$

C. $\frac{7}{16}$

D. $\frac{23}{8}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có :

$cos\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}$=$cos^{2}\frac{a}{2}=\frac{1+cos2.\frac{a}{2}}{2}=\frac{1+cosa}{2}=\frac{1+\frac{3}{4}}{2}=\frac{7}{8}$

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1 : Nếu cosa=$\frac{\sqrt{5}}{3}$ thì giá trị của biểu thức A=$4sin(\alpha +\frac{\pi }{3})sin(\alpha -\frac{\pi }{3})$  bằng:

A. $-\frac{11}{9}$

B. $\frac{11}{9}$

C. $-\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có A==$4sin(\alpha +\frac{\pi }{3})sin(\alpha -\frac{\pi }{3})$

=$4.(-\frac{1}{2}).(cos(a+\frac{\pi }{3}+a-\frac{\pi }{3})-cos(a+\frac{\pi }{3}-a+\frac{\pi }{3}))$

=−2(cos2a−$cos\frac{2\pi }{3}$

=$-2((2cos^{2}a-1)-(-\frac{1}{2}))=-2(2.(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}-1+\frac{1}{2})=-\frac{11}{9}$

Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu cosa=$\frac{1}{3}$,sinb=-$\frac{2}{3}$ thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. -$\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. -$\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b)  =$\frac{1}{2}.(cos(a+b+a-b)+cos(a+b-a+b))$

=$\frac{1}{2} $(cos2a+cos2b)

=$\frac{1}{2}((2cos^{2}a-1)+(1-2sin^{2}b))=\frac{1}{2}.(2.(\frac{1}{3})^{2}-2.(-\frac{2}{3})^{2})=-\frac{1}{3}$

Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức P=$\frac{sin\frac{\pi }{9}+sin\frac{5\pi }{9}}{cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{5\pi }{9}}$  bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

B. −$\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\sqrt{3}$

D. −$\sqrt{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có P=$\frac{sin\frac{\pi }{9}+sin\frac{5\pi }{9}}{cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{5\pi }{9}}=\frac{2sin\frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}cos\frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}{2cos\frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}cos\frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}=\frac{sin\frac{\pi }{3}cos(-\frac{2\pi }{9})}{cos\frac{\pi }{3}cos(-\frac{2\pi }{9})}=\frac{sin\frac{\pi }{3}}{cos\frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức A= $\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}$ta được kết quả là:

A. tan x. 

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có A=$\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}=\frac{(sinx+sin3x)+sin2x}{(cosx+cos3x)+cos2x}=\frac{2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}+sin2x}{2cos\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}+cos2x}=\frac{2sin2xcos(-x)+sin2x}{2cos2xcos(-x)+cos2x}=\frac{sin2x(2cosx+1)}{cos2x(2cosx+1)}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x$

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sina= $\frac{2}{3}$. Tính:

a) cos a, tan a;

b) sin(a+$\frac{\pi }{4}$),cos(a−$\frac{5\pi }{6}$),tan(a+$\frac{2\pi }{3}$)

c) sin 2a, cos 2a.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{\pi }{2}$<a<π  nên cos a < 0, do đó từ sin2 a + cos2 a = 1, suy ra

cosa=-$\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-(\frac{2}{3})^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Ta có: tana=$\frac{sina}{cosa}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

b) $sin(a+\frac{\pi }{4})=sinacos\frac{\pi }{4}+cosasin\frac{\pi }{4}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{6}$

$cos(a-\frac{5\pi }{6})=cosacos\frac{5\pi }{6}+sinasin\frac{5\pi }{6}=\frac{\sqrt{15}+2}{6}$

$tan(a+\frac{2\pi }{3})=\frac{tana+tan\frac{2\pi }{3}}{1-tanatan\frac{2\pi }{3}}=\frac{8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{7}$

c) sin2a=2sinacosa=$2.\frac{2}{3}.(-\frac{\sqrt{5}}{3})=-\frac{4\sqrt{5}}{9}$

cos2a=2cos2a-1=$2.(-\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}-1=\frac{1}{9}$

Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $sin\frac{a}{2},cos\frac{a}{2},tan\frac{a}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Do π < a < 2π nên $\frac{\pi }{2}$<$\frac{a}{2}$<π. Suy ra sin$\frac{a}{2}$>0, cos$\frac{a}{2}$<0

Ta có: sin2$\frac{a}{2}$=$\frac{1-cosa}{2}=\frac{1-0,2}{2}=0,4$

Suy ra $sin\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Do đó: cos$\frac{a}{2}$=-$\sqrt{1-sin^{2}\frac{a}{2}}=-\sqrt{1-(\frac{\sqrt{10}}{5})^{2}}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$

$tan\frac{a}{2}=\frac{sin\frac{a}{2}}{cos\frac{a}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bài 27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $tan\frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ Tính sin a, cos a, tan a

Hướng dẫn trả lời:

Ta có sina=$2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}=\frac{2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}{sin^{2}\frac{a}{2}+cos^{2}\frac{a}{2}}=\frac{2tan\frac{a}{2}}{tan^{2}\frac{a}{2}+1}=\frac{2.\frac{1}{\sqrt{2}}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Cosa=$cos^{2}\frac{a}{2}-sin^{2}\frac{a}{2}=\frac{cos^{2}\frac{a}{2}-sin^{2}\frac{a}{2}}{sin^{2}\frac{a}{2}+cos^{2}\frac{a}{2}}=\frac{1-tan^{2}\frac{a}{2}}{tan^{2}\frac{a}{2}+1}=\frac{1}{3}$

Tana=$\frac{sina}{cosa}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$

Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b =$-\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có cos(a + 2b) = 2cos a

⇔ cos[(a + b) + b] = 2cos[(a + b) – b]

⇔ cos(a + b) . cos b – sin(a + b) . sin b = 2[cos(a + b) . cos b + sin(a + b) . sin b]

⇔ cos(a + b) . cos b – 2 cos(a + b) . cos b = 2 sin(a + b) . sin b + sin(a + b) . sin b

⇔ – cos(a + b) . cos b = 3 sin(a + b) . sin b

⇔ sin(a + b) . sin b = $-\frac{1}{3}$cos(a + b) . cos b

⇔$\frac{sin(a+b)sinb}{cos(a+b)cosb}=-\frac{1}{3}$

⇔ tan(a + b) tan b =$-\frac{1}{3}$

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}.tan\frac{A}{2}=1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{\pi }{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà tan(A+B)=$ \frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-tanC$
⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có: $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ suy ra $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2} nên $tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=cot\frac{C}{2}$

⇔$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}}=\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$

⇔$(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2})tan\frac{C}{2}=1-tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}$

⇔$tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}.tan\frac{A}{2}=1$

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$BC, DN = $\frac{1}{3}$DC (Hình 4).

a) Tính tan(ˆBAM+ˆDAN).

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác vuông ABM, có tanˆBAM=$\frac{BM}{BA}$=$\frac{1}{2}$

Trong tam giác vuông ADN, có tanˆDAN=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{DN}{DC}$=$\frac{1}{3}$.

Do đó, tan(ˆBAM+ˆDAN)=$ \frac{tan\widehat{BAM}+tan\widehat{DAN}}{1-tan\widehat{BAM}.tan\widehat{DAN}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=1$

b) Từ câu a) ta có tan(ˆBAM+ˆDAN) nên ˆBAM+ˆDAN=45°.

Suy ra ˆMAN=ˆBAD−(ˆBAM+ˆDAN)=90°−45°=45°=90°−45°=45° .

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.