Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Chương 6 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 34 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Tập xác định của hàm số $y=0,2^{x-1}$ là:

A. R∖{1}.

B. R.

C. (1;+∞).

D. (0;+∞).
Hướng dẫn trả lời:

Tập xác định của hàm số mũ $y=a^{x}$ (a>0,a≠1).

Đáp án B.

Bài 35 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Tập xác định của hàm số $y=log_{3}(2x+1)$ là:

A. R.

B. [−$\frac{1}{2}$;+∞).

C. ($\frac{1}{2}$;+∞)∖{0}.

D. (−$\frac{1}{2}$;+∞).

Hướng dẫn trả lời:

Điều kiện xác định: 2x+1>0⇔x>−$ \frac{1}{2}$

Suy ra tập xác định của hàm số $y=log_{3}(2x+1)$ là: (−$\frac{1}{2}$;+∞).

Đáp án D.

Bài 36 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Tập xác định của hàm số $y=log_{5}(x^{2})$ là:

A. R∖{0}.

B. R.

C. (0;+∞).

D. [0;+∞).

Hướng dẫn trả lời:

Điều kiện xác định: $x^{2}>0$ ⇔ x≠0.

Suy ra tập xác định của hàm số $y=log_{3}(2x+1)$ là: R∖{0}.

Đáp án A.

Bài 37 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số có tập xác định R là:

A. $y=log_{5}x$.

B. y=$ (\sqrt{3})^{x}$

C. $y=ln(x^{2}-1)$.

D. y=$ 2^{\frac{1}{x}}$

Hướng dẫn trả lời:

Tập xác định của hàm số $y=log_{5}x$ là (0;+∞).

Tập xác định của hàm số y=$ (\sqrt{3})^{x}$ là R.

Tập xác định của hàm số $y=ln(x^{2}-1)$ là (−∞;−1)∪(1;+∞).

Tập xác định của hàm số y=$ 2^{\frac{1}{x}}$ là R∖{0}.

Đáp án B.

Bài 38 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó là:

A. $y=e^{x}$.

B. y=($ \frac{1}{5})^{x}$.

C. y=($ \sqrt{5})^{x}$.

D. $y=(1,2)^{x}$.
Hướng dẫn trả lời:

Trong 4 đáp án chỉ có hàm số y=($ \frac{1}{5})^{x}$ là có cơ số trong khoảng (0;1).

Do đó y=($ \frac{1}{5})^{x}$ nghịch biến trên R.

Đáp án B. 

Bài 39 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là:

A. y=$ log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}x$

B. $y=log_{0,5}x$

C. $y=-logx$

D. y=lnx.

Hướng dẫn trả lời:

Ba hàm số ở các đáp án A, B, C đều nghịch biến trên (0;+∞).

Chọn đáp án D.

Bài 40 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Giá trị thực của tham số a để hàm số $y=log_{2a+3}x$ đồng biến trên khoảng (0;+∞) là:

A. a>1.

B. a>−1.

C. a>0, a≠1.

D. a>−1, a≠1.

Hướng dẫn trả lời:

Để hàm số $y=log_{2a+3}x$ đồng biến trên khoảng (0;+∞) thì:

2a+3>1 ⇔ a>−1.

Đáp án B.

Bài 41 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho $ a^{\frac{7}{3}}<a^{\frac{7}{8}}$ và $ log_{b}(\sqrt{2}+\sqrt{5})<log_{b}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.Kết luận nào sau đây đúng?

A. a>1 và b>1.

B. 0<a<1 và 0<b<1.

C. 0<a<1 và b>1.

D. a>1 và 0<b<1.

Hướng dẫn trả lời:

Do $ a^{\frac{7}{3}}<a^{\frac{7}{8}}$ và $ \frac{7}{3}>\frac{7}{8}$⇒0<a<1.

Do $ log_{b}(\sqrt{2}+\sqrt{5})<log_{b}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ và $ (\sqrt{2}+\sqrt{5})>(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ ⇒0<b<1

Đáp án B.

Bài 42 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Đường nào sau đây là đồ thị hàm số $y=4^{x}$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn trả lời:

- Hàm số mũ $y=4^{x}$ đồng biến trên R và đi qua các điểm (0;1),(1;4).

Đáp án D.

Bài 43 trang 44 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1 và đồ thị của ba hàm số loogarit $y=log_{a}x,y=log_{b}x$ và $y=log_{c}x$ được cho bởi Hình  4. Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số a,b,c?

A. c>b>a.

B. a>b>c.

C. b>a>c.

D. c>a>b.

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số lôgarit $y=log_{a}x$ và $y=log_{b}x$ đồng biến trên (0;+∞) ⇒ a>1; b>1

Hàm số lôgarit $y=log_{c}x$ nghịch biến trên (0;+∞) ⇒ 0<c<1.

Thay x = 100 ⇒ $log_{a}100>log_{b}100>0$ ⇔ $ \frac{1}{log_{100}a}>\frac{1}{log_{100}b}$

⇔ $log_{100}b>log_{100}a$ ⇔ b>a>1

Vậy b>a>c.

Đáp án C.

Bài 44 trang 45 SBT Toán 11 CD tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y=($ \sqrt{2}$)x

b) y=($ \frac{1}{\sqrt{2}}$)x

c) y=$ log_{\sqrt{3}}x$

d) $y=-log_{2}x$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì hàm số y=($ \sqrt{2}$)x có cơ số $ \sqrt{2} $>1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y=($ \sqrt{2}$)x là một đường cong liền nét đi qua các điểm (−2;$ \frac{1}{2}$),(0;1),(2;2),(4;4).

b) Vì hàm số  y=($ \frac{1}{\sqrt{2}}$)x có cơ số $ \frac{1}{\sqrt{2}} $<1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y=($ \frac{1}{\sqrt{2}}$)x là một đường cong liền nét đi qua các điểm (−4;4),(−2;2),(0;1),(2;$ \frac{1}{2}$).

c) Vì hàm số y=$ log_{\sqrt{3}}x$ có cơ số $ \sqrt{3}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y=$ log_{\sqrt{3}}x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm ($\frac{1}{3}$;−2),(1;0),(3;2),(9;4).

d) Vì hàm số $y=-log_{2}x$ có cơ số 2>1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y=-log_{2}x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm ($\frac{1}{2}$;1),(1;0),(2;−1),(4;−2).

Bài 45 trang 45 SBT Toán 11 CD tập 2: Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số $y=(0,5)^{x}$:

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y=1;

b) Nằm ở phía trên đường thẳng y=4;

a) Nằm ở phía dưới đường thẳng y=$ \frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=(0,5)^{x}$ nằm ở phía trên đường thẳng y=1 là (−∞;0).

b) Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=(0,5)^{x}$ nằm ở phía trên đường thẳng y=4 là (−∞;−2).

c) Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=(0,5)^{x}$ nằm ở phía dưới đường thẳng y=$ \frac{1}{2}$ là (1;+∞).

Bài 46 trang 45 SBT Toán 11 CD tập 2: Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số $y=log_{3}x$:

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y=1

b) Nằm ở phía dưới trục hoành.

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=log_{3}x$ nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 là (3;+∞).

b) Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=log_{3}x$ nằm ở phía dưới trục hoành là (−∞;1).

Bài 47 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a)  y=($ \frac{1}{2})^{2x-5}$;

b) y=$ 3^{\frac{x-1}{x+1}}$;

c) y=$ 1,5^{\sqrt{x+2}}$

d) $y=log_{5}(1-5x)$;

e) $y=log(4x^{2}-9)$;

g) $y=ln(x^{2}-4x+4)$.
Hướng dẫn trả lời:;

a) Hàm số y = ($ \frac{1}{2})^{2x-5}$ có tập xác định là R.

b) Hàm số y = $ 3^{\frac{x-1}{x+1}}$ có tập xác định là R∖{−1}.

c) Hàm số y = $ 1,5^{\sqrt{x+2}}$ xác định khi: x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2. Vậy tập xác định của hàm số là [−2;+∞).

d) Hàm số $y=log_{5}(1-5x)$ xác định khi: 1−5x>0 ⇔ x<$ \frac{1}{5}$. Vậy tập xác định của hàm số là (−∞;$\frac{1}{5}$).

e) Hàm số $y=log(4x^{2}-9)$ xác định khi: $4x^{2}-9>0$ ⇔ $x^{2}>\frac{9}{4}$ ⇔ x>$ \frac{3}{2}$ hoặc x<−$ \frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số là (−∞;−$\frac{3}{2}$)∪($ \frac{3}{2}$;+∞).

g) Hàm số $y=ln(x^{2}-4x+4)$ xác định khi: $x^{2}-4x+4>0$ ⇔ $(x-2)^{2}>0$

⇔ x ≠ 2. Vậy tập xác định của hàm số là R∖{2}.

Bài 48 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y=log_{3}(4x^{2}-4x+m)$ xác định trên R.
Hướng dẫn trả lời:

Để hàm số $y=log_{3}(4x^{2}-4x+m)$ xác định trên R thì $4x^{2}-4x+m>0$ ∀m

⇔ Δ′=4−4m < 0 ⇔ m > 1.

Bài 49 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=$ log_{a^{2}-2a+1}x$ nghịch biến trên khoảng (0;+∞).
Hướng dẫn trả lời:

Để hàm số lôgarit y=$ log_{a^{2}-2a+1}x$ nghịch biến trên khoảng (0;+∞)(0;+∞) thì

Bài 50 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$ \frac{9^{x}}{9^{x}+3}$.

a) Với a,b là hai số thực thỏa mãn a+b=1. Tính f(a)+f(b).

b) Tính tổng: S=f($\frac{1}{2023}$)+f($\frac{2}{2023}$)+...+f($\frac{2022}{2023}$).

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có :f(b)=f(1−a)=$ \frac{9^{1-a}}{9^{1-a}+3}=\frac{\frac{9}{9^{a}}}{\frac{9}{9^{a}}+3}=\frac{9}{9+9^{x}.3}=\frac{3}{9^{x}+3}$ ⇒f(a)+f(b)=$ \frac{9^{x}}{9^{x}+3}$+$ \frac{3}{9^{x}+3}$=1

b) Áp dụng câu a)

S=f($\frac{1}{2023}$)+f($\frac{2}{2023}$)+...+f($\frac{2022}{2023}$)= f($\frac{1}{2023}$)+ f($\frac{2022}{2023}$)+ f($\frac{2}{2023}$)+ f($\frac{2021}{2023}$)+...+ f($\frac{1011}{2023}$)+ f($\frac{1012}{2023}$)=1+1+...+1=1011

Bài 51 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của $ _{6}^{14}\textrm{C}$ là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử $ _{6}^{14}\textrm{C}$ giảm đi một nửa.
a) Gọi m0 là khối lượng của $ _{6}^{14}\textrm{C}$ tại thời điểm t=0 Viết công thức tính khối lượng m(t) của $ _{6}^{14}\textrm{C}$ tại thời điểm t (năm).

b) Một cây còn sống có lượng $ _{6}^{14}\textrm{C}$ trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng $ _{6}^{14}\textrm{C}$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng $ _{6}^{14}\textrm{C}$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn trả lời:

a) Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 5730 (năm).

Cứ sau 5730 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa.

Suy ra khối lượng của chất đó còn lại sau t năm là:

m(t)=$ \frac{m_{0}}{2^{\frac{t}{T}}}$ trong đó m0 là khối lượng của $ _{6}^{14}\textrm{C}$ tại thời điểm t=0

b) Từ công thức: m(t)=$ \frac{m_{0}}{2^{\frac{t}{T}}}$ ⇒$\frac{m(t)}{m_{0}}=\frac{1}{2^{\frac{t}{T}}}$

Suy ra tỉ lệ phần trăm lượng $ _{6}^{14}\textrm{C}$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng là:% $ _{6}^{14}\textrm{C}$=$\frac{m(t)}{m_{0}}$.100%=$\frac{1}{2^{\frac{t}{T}}}$.100%=$\frac{1}{2^{\frac{2000}{5730}}}$.100%≈78,5%.

Bài 52 trang 46 SBT Toán 11 CD tập 2: Mức cường độ âm L (dB) được tính bởi công thức L=$ 10log\frac{I}{10^{-12}}$, trong đó I(W/m2) là cường độ âm. Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ $10^{-12}$ $(W/m^{2})$ đến 10 $W/m^{2}$. Tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được.
Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài ta có:

$10^{-12}$ ≤ I ≤ 10 ⇒ $10log\frac{10^{-12}}{10^{-12}}$ ≤ L = $ 10log\frac{I}{10^{-12}}$≤$10log\frac{10}{10^{-12}}$

⇔ 0 ≤ L ≤ 130.

Vậy mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được từ 0 (dB) đến 130 (dB).