Giải chi tiết Toán 9 Cánh diều bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Mở đầu: Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn.

Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?

Bài làm chi tiết:

Quan sát hình ta thấy, hai đường tròn có điểm chung là có tâm và bánh kính giống nhau.

I. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN

Bài làm chi tiết 1 trang 93 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài 12 cm. Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường gì?

Bài làm chi tiết:

Quan sát tranh ra thấy, đầu mút của kim phút vạch nên đường tròn.

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 1 trang 94 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn.

Bài làm chi tiết:

Cái mâm, cái bát, bánh xe đạp, đồng hồ,…

II. LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài làm chi tiết 2 trang 94 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát Hình 5,

a) So sánh MN và OM + ON.

b) So sánh MN và AB.

Bài làm chi tiết:

a) Quan sát hình ta có: MN < OM + ON

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

b) MN < AB vì AB = OM + ON. 

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 3 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN < BC.

Bài làm chi tiết:

Quan sát hình, MN là dây cung của đường tròn. 

Mà trong đường tròn, đường kính là lớn nhất nên 

=>MN < BC.

III. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài làm chi tiết 3 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O cắt đường tròn tại A, B. So sánh OA và OB (Hình 7).

b) Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Trên tia đối cảu tia OM, ta lấy điểm N sao cho ON = OM. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

G Bài làm chi tiết:

a)Quan sát hình, ta có 

OA = OB

b) Điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Bài làm chi tiết 4 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R). Giả sử d là đường thẳng đi qua tâm O, M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R) và M không thuộc d. Kẻ MH vuông góc với d tại H. Trên tia MH lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN (ta gọi điêm N là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng d). Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có M nằm trên đường tròn (O; R), nên đoạn OM chính là bánh kihs của đường tròn và có độ dài bằng R.

Do MH vuông góc với d, sử dụng tính chất của đường tròn và đường thnawgr để kết luận rằng điểm H cũng nằm trên đường tròn (O; R), vì nó là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với đường chứa OM, với M là điểm thuộc đường tròn.

Vì H nằm trên đường tròn (O; R) và N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d (trung điểm của MN), nên điểm N cũng nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy điểm N cũng thuộc đường tròn (O; R).

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 3 trang 96 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn. Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình tròn đó.

Bài làm chi tiết:

Để xác định tâm của tờ giấy hình tròn mà không cần dụng cụ đo lường ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một điểm bất kỳ trên đường viền của tờ giấy và đánh dấu là A.

Bước 2: Gập tờ giấy sao cho A trùng với một điểm khác trên đường viền, và đánh dấu điểm mới là A'.

Bước 3: Lặp lại bước 2 ít nhất hai lần nữa, chọn điểm trên đường viền đối diện và gập tờ giấy.

Bước 4: Tâm của tờ giấy là điểm giao của các đường gập. Nếu gập đủ nhiều lần, điểm giao này sẽ xác định gần đúng tâm của hình tròn.

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Bài làm chi tiết 5 trang 96 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Bài làm chi tiết:

Qua sát hình cho thấy, hai đường tròn cắt nhau có hai điểm chung.

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 4 trang 97 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 14 cm), (O’; 5 cm) với OO’ = 8 cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 14 cm, r = 5 cm.

Do R – r = 14 – 5 = 9 (cm), R + r = 14 + 5 = 19 (cm) và 

Vì R – r > OO’.

Vậy hai đường tròn không cắt nhau.

Bài làm chi tiết 6 trang 97 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Bài làm chi tiết:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau có 1 điểm chung.      

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 5 trang 98 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO’, biết hai đường tròn đó tiếp xúc nhau.

Bài làm chi tiết:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Tiếp xúc ngoài: 

OO’ = R + r = 4,5 + 2,5 = 7 cm

Tiếp xúc trong: 

OO’ = R – r = 4,5 – 2,5 = 2 cm.

Bài làm chi tiết 7 tran 98 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?

Bài làm chi tiết:

Quan quan sát cho thấy, hai đường tròn không giao nhau 

=>Chúng không có điểm chung.

Bài làm chi tiết luyện tập, vận dụng 6 trang 99 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O’; 6,5 cm). Biết rằng OO’ = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Bài làm chi tiết:

Theo đề bài ta có: bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 11,5 cm, r = 6,5 cm.

Do R – r = 11,5 – 6,5 = 5 cm.

Do 4 < 5 nên OO’ < R – r. 

Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O’; 6,5 cm).

V. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài làm chi tiết bài 1 trang 99 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường kính lần lượt là AB, AC, CD. Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn thẳng AB, AC, CD theo thứ tự tăng dần và giải thích kết quả tìm được.

Bài làm chi tiết:

Theo hinh ta có độ dài sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: CD, AC, AB.

Vì có 3 điểm đều chung 1 gốc C nhưng bán kính lại khác nhau.

=> Dựa vào gốc để so sánh.

Bài làm chi tiết bài 2 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi hình 17a, 17b, 17c, 17d:

Bài làm chi tiết:

Quan sát hình ta có:

Hình 17a: Hai đường tròn không cắt nhau

Hình 17b: Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hình 17c: Hai đường tròn không giao nhau

Hình 17d: Hai đường tròn cắt nhau.

Bài làm chi tiết bài 3 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Điểm O thuộc đường thẳng a. 

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.

b) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Bài làm chi tiết:

a) Thực hiện vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.

Vẽ đoạn thẳng MN, kẻ đường trung trực a

Chọn một điểm O bất kì thuộc đường trung trực MN

Đo độ dài OM

Đặt compa tại O và vẽ đường tròn bán kính R = OM.

b) Vì a là đường trung trực của MN

Ta được OM = ON = R

N thuộc đường tròn (O; R).

Bài làm chi tiết bài 4 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Tính số đo góc AOB.

Bài làm chi tiết:

Xét

OA = OB = AB = R 

=>

Bài làm chi tiết bài 5 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chiếc đồng hồ trang trí ở Hình 18 gợi nên vị tí tương đối của các đường tròn. Quan sát Hình 18 và chỉ ra một cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Tiếp xúc ngoài;

c) Tiếp xúc trong;

d) Không giao nhau.

Bài làm chi tiết:

a)Quan sát trang ta có đường tròn màu tím cắt đường tròn màu vàng kim loại bao bên ngoài

b) Đường tròn màu cam đặc tiếp xúc ngoài với đường tròn màu xanh lá cây rỗng

c) Đồng hồ tiếp xúc trong với viền màu vàng rỗng kim loại

d) Đường tròn màu đỏ và đường tròn màu màu xanh đặc không giao nhau.

Bài làm chi tiết bài 6 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây AB khác đường kính. Gọi M là trung điểm của AB. 

a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB. Biết R = 5 cm, AB = 8 cm.

Giải chi tiết: 

a)

Ta có: M là trung điểm AB

Ta có MA = MB              (1)

O là tâm đường tròn, OA và OB là các dây cung

Ta có OA = OB               (2)

Từ (1) và (2) ta được OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) AM=

Áp dụng định lý Py-ta go, ta có khoảng cách từ điểm O đến dây AB:

=>OM =

Bài làm chi tiết bài 7 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’, B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh:

a)

b) AB // A’B’.

 Bài làm chi tiết:

a)Quan sát hình,  ta có

Vậy: (1)

b) Ta có: = (2)

Từ (1) và (2)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

AB // A’B’ (đpcm).