Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 1: Đường tròn

1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 75 sgk toán 9 tập 1 ctst

Mở một chiếc compa sao cho hai đầu compa cách nhau một khoảng R cho trước. Tì đầu nhọn của compa lên một điểm O cố định trên tờ giấy, xoay compa để đầu bút M của compa vạch trên giấy một đường cong. Nêu nhận xét về các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O.

Bài làm chi tiết:

Nhận xét: Khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O là không đổi và bằng R.

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 76 sgk toán 9 tập 1 ctst

a) Cho đường tròn (O; R).

i) Lấy điểm A nằm trên đường tròn. Vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn tại điểm A' khác A. Giải thích tại sao O là trung điểm của đoạn thẳng AA'.

ii) Lấy điểm B khác A thuộc đường tròn (O; R). Tìm điểm B' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng BB'. Điểm B' có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

b) Cho đường tròn (O; R), d là đường thẳng đi qua tâm O. Lấy điểm M nằm trên đường tròn. Vẽ điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thăng MM' (khi M thuộc d thì lấy M' trùng với M). Điểm M' có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

Bài làm chi tiết:

a)

i) Đường thẳng AO cắt đường tròn tại điểm A' khác A. Vì O là trung điểm của đoạn thẳng AA', nên theo tính chất của trung điểm, ta có OA = OA'. Đồng thời, vì A' nằm trên đường tròn (O; R), nên OA' = R. Vậy, OA = OA' = R, tức là O là trung điểm của đoạn thẳng AA'.

ii) Lấy điểm B khác A thuộc đường tròn (O; R). Để tìm điểm B' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng BB', ta vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng AB và cắt đường tròn tại điểm B'. Khi đó, vì O là trung điểm của đoạn thẳng BB', nên OB = OB' = R. Điểm B' nằm trên đường thẳng OB, nên OB' cũng bằng R. Vậy, B' thuộc đường tròn (O; R).

b)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d đi qua tâm O. Lấy điểm M nằm trên đường tròn. Để tìm điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM', ta cần vẽ đường thẳng d' vuông góc với đường d đi qua điểm M. Điểm M' chính là giao điểm của d' và đường tròn.

Điểm M' thuộc đường tròn (O; R) nếu và chỉ nếu OM' = R. Tuy nhiên, vì d là đường trung trực của đoạn thẳng MM', nên OM = OM'. Do đó, nếu M nằm trên đường thẳng d, ta lấy M' trùng với M, và điểm M' sẽ thuộc đường tròn (O; R).

Giải chi tiết thực hành 1 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định tâm đối xứng và trục đối xứng của bánh xe trong Hình 7. Giải thích cách làm.

Bài làm chi tiết:

Ta có tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn => Tâm đối xứng của bánh xe chính là điểm O

Trục đối xứng của đường tròn là đường kính của đường tròn => Ta kẻ một đường thẳng bất kì đi qua tâm thì đó là trục đối xứng

Giải chi tiết vận dụng 1 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Nêu cách chia một cái bánh có dạng hình tròn tâm O (Hình 8) thành hai phần bằng nhau.

Bài làm chi tiết:

Cách làm: kẻ một đường thẳng đi qua tâm O của chiếc bánh ta sẽ được 2 phần bằng nhau

3. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 3 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trên đường tròn (O; R), lấy bốn điểm A, B, M, N sao cho AB đi qua O và MN không đi qua O (Hình 9).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R. 

b) So sánh độ dài của MN và OM + ON. Từ đó, so sánh độ dài của MN và AB.

Bài làm chi tiết:

a) AB = OA + OB = R + R = 2R

b) OM + ON = R + R = 2R

Mà trong tam giác OMN ta có MN < OM + ON

=> MN < 2R 

=> MN < AB

Giải chi tiết thực hành 2 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi qua I (hình 11). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF

Bài làm chi tiết:

Ta có AB = AI + BI = R + R = 2R

CD = CI + ID = R + R = 2R

IE + EF = 2R

Xét tam giác EIF ta có EF < IE + IF 

=> AB = CD = 2R > EF

Giải chi tiết vận dụng 2 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Bạn Mai căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 16 cm, 14 cm và 20 cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 10 cm (Hình 12). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giái thích?

Bài làm chi tiết:

Dây EF đi qua tâm của đường tròn vì EF = 20 = 2.10 = 2R

4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Giải chi tiết hoạt động 4 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tìm số điểm chung của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi trường hợp sau(Hình 13)

Bài làm chi tiết:

a) Đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung

b) Đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung

c) Đường tròn (O) và (O’)  có 1 điểm chung là M

d) Đường tròn (O) và (O’) có 2 điểm chung là M và N

Giải chi tiết hoạt động 5 trang 79 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho 2 đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; R) với R R’

So sánh OO’ với R+ R’ và R – R’ trong mỗi trường hợp sau đây: (Hình 15 ;Hình 16 và Hình 17)

Bài làm chi tiết:

Trường hợp 1:

a) OO’ > R + R’ và OO’ > R – R’

b) OO’ < R + R’ và OO’ < R – R’

Trường hợp 2:

a) OO’ = R + R’ và OO’ > R – R’

b) OO’ < R + R’ và OO’ = R – R’

Trường hợp 3:

OO’ < R + R’ và OO’ > R – R’

Giải chi tiết thực hành 3 trang 79 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I; R) và (J;R’) trong mỗi trường hợp sau :

a) IJ = 5; R = 3; R’ = 2

b) IJ = 4; R = 11; R’ = 7

c) IJ = 6; R = 9; R’ = 4

d) IJ = 10; R = 4; R’ = 1

Bài làm chi tiết:

a) Với IJ = 5; R = 3; R' = 2

Tổng bán kính: R + R' = 3 + 2 = 5

Hiệu bán kính: |R - R'| = |3 - 2| = 1

Khoảng cách giữa hai tâm (IJ = 5) bằng tổng bán kính (5 = 5), do đó hai đường tròn này tiếp xúc ngoài.

b) Với IJ = 4; R = 11; R' = 7

Tổng bán kính: R + R' = 11 + 7 = 18

Hiệu bán kính: |R - R'| = |11 - 7| = 4

Khoảng cách giữa hai tâm (IJ = 4) nhỏ hơn hiệu bán kính (4 < 18) và lớn hơn 0, nên hai đường tròn này cắt nhau.

c) Với IJ = 6; R = 9; R' = 4

Tổng bán kính: R + R' = 9 + 4 = 13

Hiệu bán kính: |R - R'| = |9 - 4| = 5

Khoảng cách giữa hai tâm (IJ = 6) nằm giữa hiệu bán kính và tổng bán kính (5 < 6 < 13), do đó hai đường tròn này cắt nhau.

d) Với IJ = 10; R = 4; R' = 1

Tổng bán kính: R + R' = 4 + 1 = 5

Hiệu bán kính: |R - R'| = |4 - 1| = 3

Khoảng cách giữa hai tâm (IJ = 10) lớn hơn tổng bán kính (10 > 5), nên hai đường tròn này không cắt nhau.

Giải chi tiết vận dụng 3 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên trong Hình 18.

Bài làm chi tiết:

a) Hai đường tròn không cắt nhau

b) Hai đường tròn cắt nhau tại 1 điểm

c) Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 81 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O), bán kính 5 cm và bốn điểm A, B, C, D thoả mãn OA = 3 cm, OB = 4 cm, OC = 7 cm, OD = 5 cm. Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C, D nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O).     

Bài làm chi tiết:

Có OA = 3 cm < 5 cm => điểm A nằm trong đường tròn (O).

Có OB = 4 cm < 5 cm => điểm B nằm trong đường tròn (O).

Có OC = 7 cm > 5 cm => điểm C nằm ngoài đường tròn (O).

Có OD = 5 cm = bán kính của đường tròn => điểm D nằm trên đường tròn (O).

Giải chi tiết bài 2 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 18 cm và CD = 12 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Bài làm chi tiết:

Giả sử E là trung điểm của đoạn thẳng CD. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AE là phân giác của góc A và là đường cao của tam giác ACD.

Do đó, tam giác ACD là tam giác vuông tại A

=> điểm E cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

=> A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, và bán kính của đường tròn đó chính là đoạn thẳng từ tâm (trung điểm của CD) đến một trong các đỉnh của hình chữ nhật, chẳng hạn bán kính này có thể tính bằng độ dài của đoạn thẳng AE hoặc BE.

Vì AE là phân giác của góc A và là đường cao của tam giác ACD, nên ta có: 

Kết luận: Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là 12​ cm.

Giải chi tiết bài 3 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có hai đường cao BB' và CC. Gọi O là trung điểm của BC.

a) Chứng minh đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B, C, C';

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng BC và B'C'.

Bài làm chi tiết:

a) 

Vì O là trung điểm của BC, nên OB = OC. 

Ta có BB' và CC' là hai đường cao của tam giác ABC => chúng đều vuông góc với BC và đi qua trung điểm O.

Do đó, ta có:

OB = OC (vì O là trung điểm của BC)

OB' = OC' (vì BB' và CC' là hai đường cao của tam giác ABC)

Vậy ta thấy rằng các điểm B, C, và C' đều nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính OB' = OC'. Do đó, đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B, C, và C'.

b) 

Vì O là trung điểm của BC, theo định lý trung bình, ta có BC = 2 * BO. Tuy nhiên, vì B'C' cũng là đường cao của tam giác ABC, nên B'C' = 2 * BO' (vì O' là trung điểm của BC').

• B’C’ = 2.BO’ = 2OB’

Do đó, B'C' là đoạn thẳng có độ dài gấp đôi đoạn thẳng BC.

Giải chi tiết bài 4 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tứ giác ABCD có B = D = 90°.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) So sánh độ dài của AC và BD.

Bài làm chi tiết:

a) Vì B=D=90^o => tứ giác ABCD là một hình vuông. Ta biết rằng trong một hình vuông, đường chéo chính là đường tròn ngoại tiếp.

=> các điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn có đường chéo là AC hoặc BD.

b) 

Trong một hình vuông, đường chéo chính và đường chéo phụ có cùng độ dài và cắt nhau tại góc vuông.

• AC=BD.

Giải chi tiết bài 5 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm) cắt nhau tại C, D, điểm A nằm trên đường tròn tâm O (Hình 20).

a) Vẽ đường tròn (C; 2 cm).

b) Đường tròn (C; 2 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Bài làm chi tiết:

a) Ta có hình vẽ

b) Ta có OC = 2cm và CA = 2cm 

Mà bán kính của đường tròn (C; 2cm) cũng là 2 cm nên đường tròn đi qua 2 điểm O và A.

Giải chi tiết bài 6 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D, AB = 8 cm. Gọi K, I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB (Hình 21).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CA, CB, CB, DA I và DB.

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Bài làm chi tiết:

a) CA = DA = 6 cm

CB = DB = 4 cm

b) Vì AB = 8; BI = 4 cm 

=> I là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) IK = AK – BI = 6 – 4 = 2 cm

Giải chi tiết bài 7 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định vị trí tương đối của (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 18; R = 10; R' = 6;

b) OO' = 2; R = 9; R' = 3;

c) OO' = 13; R = 8; R' = 5;

d) OO' = 17; R = 15; R' = 4.

Bài làm chi tiết:

a) Với OO' = 18; R = 10; R' = 6 ta tính được:

Tổng bán kính: R + R' = 10 + 6 = 16

Hiệu bán kính: |R - R'| = |10 - 6| = 4

Trong trường hợp này, OO' lớn hơn tổng bán kính (18 > 16), nên hai đường tròn này không giao nhau.

b) Với OO' = 2; R = 9; R' = 3 ta tính được:

Tổng bán kính: R + R' = 9 + 3 = 12

Hiệu bán kính: |R - R'| = |9 - 3| = 6

Trong trường hợp này, OO' nhỏ hơn hiệu bán kính (2 < 6), nên hai đường tròn này giao nhau.

c) Với OO' = 13; R = 8; R' = 5 ta tính được:

Tổng bán kính: R + R' = 8 + 5 = 13

Hiệu bán kính: |R - R'| = |8 - 5| = 3

Trong trường hợp này, OO' bằng tổng bán kính (13 = 13), nên hai đường tròn này tiếp xúc ngoài.

d) Với OO' = 17; R = 15; R' = 4 ta tính được:

Tổng bán kính: R + R' = 15 + 4 = 19

Hiệu bán kính: |R - R'| = |15 - 4| = 11

Trong trường hợp này, OO' lớn hơn hiệu bán kính (17 > 11), nên hai đường tròn này không giao nhau.