Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

KHỞI ĐỘNG

Ba cụm dân cư A, B, C nối với nhau bởi ba con đường AB, BC, CA như trong hình dưới đây. Người ta muốn tìm địa điểm O để xây một trường học và địa điểm I để xây một trạm cứu hộ xe, sao cho O cách đều 3 điểm A, B, C và I cách đều ba con đường. Làm thế nào để xác định hai địa điểm O và I?

Bài làm chi tiết:

Để xác định hai địa điểm O và I ta làm như sau:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, cho chúng cắt nhau từng đôi một. Điểm giao nhau đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , cho chúng cắt nhau từng đôi một và điểm giao nhau đó là điểm I.

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 65 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC (Hình 1).

a) So sánh độ dài của đoạn thẳng OA, OB và OC.

b) Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có:

O thuộc đường trung trực của AB.

=> OA = OB (tính chất đường trung trực) (1).

O thuộc đường trung trực của BC.

=> OC = OB (tính chất đường trung trực) (2).

Từ (1) và (2) => OA = OB = OC 

b)

Giải chi tiết thực hành 1 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác đều MNP có cạnh bằng 4;

b) Tam giác EFG có EF = 5 cm; EG = 3 cm; FG = 4cm.

Bài làm chi tiết:

a) Vẽ đường cao MH của MNP.

Gọi O là điểm nằm trên MH sao cho OM = MH.

Do MNP đều nên O vừa là trọng tâm vừa là giao điểm của ba đường trung trực.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP là:

R = OH = (cm).

b) Ta có: 

EF² = EG² + FG² (vì 3² + 4² = 5²)

EFG vuông tại G.

Gọi I là trung điểm của cạnh huyền EF. Ta có GI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của EFG vuông tại G, suy ra IG = IE = IF = = 2,5 cm

Vậy đường tròn tâm I bán kính 5 cm ngoại tiếp EFG.

Giải chi tiết vận dụng 1 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Có ba tổ dựng lều ở ba vị trí A, B, C như Hình 6. Ban tổ chức đặt ba thùng có dung tích bằng nhau tại một điểm tập kết chung. Mỗi tổ có sáu người, được phát một chiếc gàu giống nhau, các thành viên trong tổ chia thành từng cặp cõng nhau, múc nước từ tại của mình về đổ vào thùng tại điểm tập kết. Thùng của tổ nào đầy trước thì tổ đó chiến thắng. Để trò chơi công bằng, cần tìm điểm tập kết cách đều ba lều. Hãy xác định điểm đó.

Bài làm chi tiết:

- Điểm tập kết cách đều 3 lều tức khoảng cách từ điểm tập kết đều mỗi lều là như nhau Điểm tập kết O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

Điểm tập kết O là giao điểm của ba đường trung trực của ABC. Khi vẽ, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực của ABC là ta có thể xác định được điểm O.

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID, IE, IF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB (Hình 7).

a) Chứng minh rằng IE = IF = ID.

b) Vẽ đường tròn tâm I bán kính IE. Có nhận xét gì về vị trí của đường tròn này với ba cạnh của tam giác ABC?

Bài làm chi tiết:

a) 

Xét FBI vuông tại F và DBI vuông tại D có:

(do BI là phân giác góc );

IB chung.

FBI = DBI (cạnh huyền – góc nhọn).

IF = ID (hai cạnh tương ứng) (1).

- Xét IDC vuông tại D và IEC vuông tại E có:

(do IC là phân giác góc );

IC chung.

IDC = IEC (cạnh huyền – góc nhọn).

ID = IE (hai cạnh tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) IE = IF = ID.

b) Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm F, D, E.

Giải chi tiết thực hành 2 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 8 cm.

Bài làm chi tiết:

Gọi O là giao điểm của đường cao MA, NP và PC của MNP.

Ta có MNP đều nên MA, NB, PC  là ba đường trung tuyến đồng thời là ba đường phân giác của tam giác.

Do đó, O là trọng tâm, đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp MNP với bán kính r = OA = OB = OC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là

r  = (cm). 

Giải chi tiết vận dụng 2 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động (trang 65).

Bài làm chi tiết:

Để xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động, ta làm như sau:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, cho chúng cắt nhau từng đôi một. Điểm giao nhau đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , , cho chúng cắt nhau từng đôi một và điểm giao nhau đó là điểm I.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.

a) Nêu cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Nêu các vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài làm chi tiết:

a) Để vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta kẻ ba đường trung trực AH, BK, CE của ABC, ba đường đó đồng quy tại điểm O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính OA = R.

b) Vì ABC đều nên các đường trung trực của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác O cũng là tâm đường tròn nội tiếp ABC, bán kính OH = r.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là:

R = OA = (cm).

Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là:

r = OH = (cm).

Giải chi tiết bài 2 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài làm chi tiết:

a) Xét đường tròn (O) có:

là góc nội tiếp chắn cung AB, mà AB là đường kính của đường tròn (O).

= 90^o AC BC tại C, mà OI AC (giả thiết).

OI BC (quan hệ từ vuông góc – song song).

b) Vì OB = OC = R OBC cân tại O mà OI là đường cao của OBC.

OI đồng thời là phân giác của OBC.

hay

Xét COM và   BOM có:

OC = OB = R;

(chứng minh trên);

OM chung.

COM = BOM (c – g – c).

(hai góc tương ứng)

Mà = 90^o (do MB là tiếp tuyến của đường tròn).

= 90^o  hay OM MC mà C thuộc đường tròn (O)

MC là tiếp tuyến đường tròn (O).

Giải chi tiết bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Bài làm chi tiết:

a) - Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

I là giao điểm của ba đường phân giác ABC

.

- Xét ADI và AFI có:

ID = IF = R;

(chứng minh trên);

AI chung.

ADI = AFI  (c – g – c).

AD = AF (hai cạnh tương ứng) (1).

- Chứng minh tương tự, ta được:

DBI = EIB  (c – g – c) BD = BE (hai cạnh tương ứng) (2).

FCI = ECI  (c – g – c) FC = EC (hai cạnh tương ứng) (3).

- Ta có: AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC (4).

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

- 2AF = AB + AC – BC;

- 2BD = 2BE = AB + BC – AC; 

- 2EC = 2FC = AC + BC – AB.

Giải chi tiết bài 4 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính diện tích tam giác đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 cm.

Bài làm chi tiết:

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là r = .

(Với a là độ dài cạnh của tam giác đều)

Mà r = 1 cm (cm).

Vì tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác ba đường phân giác cũng đồng thời là ba đường trung trực của tam giác.

Đường cao của tam giác đều là: (cm).

Diện tích tam giác đều là:

(cm²).

Giải chi tiết bài 5 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 100 m (Hình 12). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Nêu cách xác định vị trí đặt đèn và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác.

Bài làm chi tiết:

- Vị trí đặt đèn sẽ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Vị trí đặt đèn là giá điểm của ba đường trung trực của tam giác.

- Khoảng cách từ tâm đến đỉnh hay bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là: (cm).