Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 3: Định li Viète

KHỞI ĐỘNG

Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m². Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Bài làm chi tiết:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Vì khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên ta có a + b = 60.

Vì khu vườn có diện tích là 884 m² nên ta có ab = 884.

Vậy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x² – 34x – 26x + 884 = 0

x(x – 34) – 26(x – 34) = 0

(x – 26)(x – 34) = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 26 m.

1. ĐỊNH LÍ VIÈTE

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 18 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x₁, x₂.

Tính x₁ + x₂ và x₁.x₂.

Bài làm chi tiết:

x₁ + x₂ =

x₁.x₂ =

Giải chi tiết thực hành 1 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) x² – 2 + 7 = 0;        b) 15x² – 2x – 7 = 0;                 c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Bài làm chi tiết:

a) x² – 2 + 7 = 0

Ta có = (–)² – 1.7 = 0

Phương trình có nghiệm kép. Theo định lý Viète ta có

x₁ + x₂ = = 2.

x₁.x₂ = = 7.

b) 15x² – 2x – 7 = 0

Ta có = (–1)² – 15.(–7) = 106 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = .

x₁.x₂ = = .

c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Ta có = (–6)² – 35.2 = –34 < 0

Phương trình có vô nghiệm

Giải chi tiết thực hành 2 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình x² + 4x – 21 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) ;                                          b) .

Bài làm chi tiết:

Ta có = 2² – 1.(–21) = 25 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = –4.

x₁.x₂ = = –21.

a)

b)  

= 16 + 63 = 79.

Giải chi tiết thực hành 3 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x² – 27x + 342 = 0;                           b) 2022x² + 2023x + 1 = 0.

Bài làm chi tiết:

a) Phương trình –315x² – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

b) Phương trình 2022x² + 2023x + 1 = 0 có a – b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

2. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay uv =15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Bài làm chi tiết:

a) Ta có u + v = 8 u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được:

(8 – v).v = 15

b) Nếu biểu diễn v theo u ta thu được phương trình ẩn u là (8 – u).u = 15.

Giải chi tiết thực hành 4 trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Bài làm chi tiết:

a) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình

x² – 15x + 44 = 0

x² – 4x – 11x + 44 = 0

x(x – 4) – 11(x – 4) = 0

(x – 11)(x – 4) = 0

x = 4 hoặc x = 11

Vậy hai số cần tìm là 4 và 11.

b) Ta có: S = a + b = 7; P = a.b =13.

Vì S² – 4P = 7² – 4.13 = –3 < 0.

Vậy không tồn tại hai số a và b có tổng là 7 và tích là 13.

Giải chi tiết vận dụng trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong khởi động (trang 18).

Bài làm chi tiết:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Vì khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên ta có a + b = 60.

Vì khu vườn có diện tích là 884 m² nên ta có ab = 884.

Vậy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x² – 34x – 26x + 884 = 0

x(x – 34) – 26(x – 34) = 0

(x – 26)(x – 34) = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 26 m.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) trong mỗi phương trình:

a) 3x² – 9x + 5 = 0;                   b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) 5x² – 9x + 15 = 0;                 d) 5x² – 2x – 3 = 0.

Bài làm chi tiết:

a) 3x² – 9x + 5 = 0

Ta có = (–9) ² – 4.3.5 = 21 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 3.

x₁.x₂ = .

b) 25x² – 20x + 4 = 0

Ta có = (–10) ² – 4.25 = 0

Phương trình có nghiệm kép. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

c) 5x² – 9x + 15 = 0

Ta có = (–9) ² – 4.5.15 = –219 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) 5x² – 2x – 3 = 0

Ta có = (–) ² – (–3).5 = 24 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

Giải chi tiết bài 2 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;               b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) x² + 5x + = 0;                  d) 2x² – (2 +)x + = 0.

Bài làm chi tiết:

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là = 1,88.

c) Phương trình x² + 5x + = 0 có a – b + c = – 5 + = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

d) Phương trình 2x² – (2 + )x + = 0 có a + b + c = 2 – (2 +) + = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

Giải chi tiết bài 3 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;   b) u + v = – 6, uv = – 135;        c) u + v = 5, uv = 24.

Bài làm chi tiết:

a) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 29x + 154 = 0

x² – 7x – 22x + 154 = 0

x(x – 7) – 22(x – 7) = 0

(x – 22)(x – 7) = 0

x = 22 hoặc x = 7

Vậy u = 22; v = 7 hoặc u = 7; v = 22.

b) u và v là nghiệm của phương trình

x² + 6x – 135 = 0

x² – 9x + 15x + 135 = 0

x(x – 9) + 15(x – 9) = 0

(x + 15)(x – 9) = 0

x = –15 hoặc x = 9

Vậy u = –15; v = 9 hoặc u = 9; v = –15.

c) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 5x + 24 = 0

= (–5)² – 4.1.24 = –71 < 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tìm được u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Giải chi tiết bài 4 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình x² – 19x – 5 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) A = ;            b) B = ;                c) C =

Bài làm chi tiết:

Ta có = (–19)² – 4.1.(–5) = 381 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 19.

x₁.x₂ = = –5.

a) A =

= 19² – 2.(–5) = 371.

b) B =

c) C =

Giải chi tiết bài 5 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài làm chi tiết:

Nửa chu vi khu vườn là: 116 : 2 = 58 (m).

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 58; m)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 58; m)

Vì khu vườn có nửa chu vi là 58 m nên ta có a + b = 58 (1).

Vì khu vườn có diện tích là 805 m² nên ta có ab = 805 (2).

Từ (1) và (2) ta thấy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 58x + 805 = 0

x² – 35x – 23x + 805 = 0

x(x – 35) – 23(x – 35) = 0

(x – 23)(x – 35) = 0

x = 23 (thoả mãn) hoặc x = 35 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 23 m.