Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 2: Tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn giảI bài 2: Tứ giác nội tiếp sách mới Toán 9 tập 2 Chân trời sáng tạo. Lời giải chi tiết, chuẩn xác, dễ hiểu sẽ giúp các em hoàn thành tốt các bài tập trong chương trình học. Baivan.net giải chi tiết tất cả các bài tập trong sgk. Hi vọng sẽ trở thành người bạn đồng hành cùng các em trong suốt quá trình học tập.
KHỞI ĐỘNG
Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A’B’C’D’, hãy nêu nhận xét sự khác biệt về vị trí các đỉnh của mỗi hình đối với đường tròn trong hình đó.
Bài làm chi tiết:
Sự khác biệt về vị trí các đỉnh của mỗi hình đối với đường tròn trong mỗi hình:
- Hình a cả bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên đường tròn (O).
- Hình b có ba điểm A’, B’, C’ nằm trên đường tròn (O’); điểm D’ nằm ngoài đường tròn.
1. ĐỊNH NGHĨA TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Giải chi tiết hoạt động 1 trang 70 sgk toán 9 tập 2 ctst
Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?
Bài làm chi tiết:
Các tứ giác trong Hình 1 đều có các đỉnh nằm trên đường tròn.
Giải chi tiết thực hành 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst
Vẽ một tứ giác nội tiếp hình tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.
Bài làm chi tiết:
Trên hình vẽ tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn, tứ giác MNPQ là tứ giác không nội tiếp đường tròn.
Giải chi tiết vận dụng 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst
Có nhận xét gì về tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3.
Bài làm chi tiết:
Tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3 là tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn.
2. TÍNH CHẤT
Giải chi tiết hoạt động 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).
a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp 
và ..
b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.
c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc 
và 
.
d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?
Bài làm chi tiết:
a) - Góc 
là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.
- Góc 
là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.
b) - Góc 
là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.
số đo cung BD nhỏ.
- Góc 
là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.
số đo cung BD lớn.
Ta có 
(số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn)
= 
.360o = 180o.
c) Tổng số đo của hai góc 
và 
bằng 180o.
d) Tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD là 180o (vì 360o – 180o = 180o).
Giải chi tiết thực hành 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst
Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.
Bài làm chi tiết:
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Do đó 
.
Giải chi tiết vận dụng 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst
Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết 
= 70o, 
= 50o. Tìm góc .
Bài làm chi tiết:
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Do đó 
.
Mà 
.
Vì OA = OD = R nên 
OAD cân tại O
(tính chất tam giác cân)
OAD đều 
3. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG
Giải chi tiết hoạt động 3 trang 72 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông MNPQ (Hình 8).
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.
Bài làm chi tiết:
a) - Độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD là bằng nhau.
- Nhận xét:
+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo.
+ Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường chéo của hình chữ nhật.
b) - Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là I.
- Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là:
R = IM = IN = IP = IQ = 
.
Giải chi tiết thực hành 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst
Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.
Bài làm chi tiết:
a) Hình vuông ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm M và bán kính R = 
.
b) Hình chữ nhật STUV có O là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật STUV có tâm O và bán kính
R = 
Giải chi tiết vận dụng 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst
Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R = 3 cm (Hình 12). Tính diện tích hình vuông đó.
Bài làm chi tiết:
Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông 
Độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.
Độ dài của đường chéo hình vuông là: d = 2.R = 2.3 = 6 cm.
Độ dài cạnh hình vuông là: a = 
cm.
Diện tích hình vuông là: 
= 18 (cm2).
4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH
Giải chi tiết bài 1 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.
Bài làm chi tiết:
Trường hợp Góc | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 90o | 70o | 91o | 66o |
| 120o | 80o | 75o | 92o |
| 90o | 80o | 89o | 114o |
| 60o | 70o | 105o | 88o |
Giải chi tiết bài 2 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình
Bài làm chi tiết:
Các tứ giác nội tiếp là AC’HB’, BC’HA, ACB’H, BCB’C’.
Giải chi tiết bài 3 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:
a) AB = 6 cm, BC = 8 cm; b) AC = 9cm.
Bài làm chi tiết:
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, bán kính R = OA = OB = OC = OD = 
.
a) Ta có: 
(Định lý Pytagore)
cm.
cm.
b) 
cm
Giải chi tiết bài 4 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Chi hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.
Bài làm chi tiết:
- Vì hình vuông MNPQ nội tiếp => O là giao điểm của MN và NQ
=> 
=> MP = 2R.
- Ta có MN2 = OM2 + ON2 = R2 + R2 = 2R2
.
Giải chi tiết bài 5 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Bài làm chi tiết:
Vì OB = OC = R 
OBC cân tại O mà OI là trung tuyến
OI đồng thời là đường cao 
OBC => OI 
BC tại I.
Ta có 
(chứng minh trên); 
(giả thiết)
mà hai góc này ở đối diện nhau
=> Tứ giác AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Giải chi tiết bài 6 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Bài làm chi tiết:
a) Xét đường tròn đường kính MC có:
là góc nội tiếp chắn cung MC 
hay 
.
là góc nội tiếp chắn cung BC.
Mà 
là góc nội tiếp chắn cung BC (
)
Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Ta có 
là góc nội tiếp chắn cung MC mà MC là đường kính.
hay MN 
NC (1)
Gọi giao của AB và DC là E.
Xét 
EBC có hai đường chéo AC và BD mà AC cắt BD tại M.
M là đường trung trực 
EBC 
EM 
AC (2).
Từ (1) và (2) => E, M, N thẳng hàng (điều phải chứng minh).
Giải chi tiết bài 7 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Bài làm chi tiết:
a) Ta có: 
; 
Xét 
AMB và 
ADN có:
AB = AD (tính chất hình vuông)
(chứng minh trên)
AMB = 
ADN (g – c – g).
b) 
AMB = 
ADN (chứng minh trên) 
AM = AN (hai cạnh tương ứng).
AMN cân tại A
Mà AO là đường trung tuyến của tam giác => AO đồng thời là đường cao của tam giác.
MN 
OA tại O
hay 
là góc nội tiếp chắn cung AM.
hay 
là góc nội tiếp chắn cung AM
Tứ giác AOBM nội tiếp.
Có 
; 
mà hai góc này ở đối diện nhau.
Tứ giác ANDO là một tứ giác nội tiếp.
c) Vì tứ giác AOBM nội tiếp (chứng minh trên)
(hai góc nội tiếp chắn cung MB)
Vì tứ giác ANDO nội tiếp (chứng minh trên)
(hai góc nội tiếp chắn cung DN)
Mà 
(chứng minh trên) => 
Ta có 
hay ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Giải toán 9 chân trời sáng tạo tập 2, Giải bài 2: Tứ giác nội tiếp toán 9 chân trời tập 2, giải toán 9 Chân trời bài 2: Tứ giác nội tiếp