Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 3: Đa giác đều và phép quay

KHỞI ĐỘNG

Trong mỗi đường gấp khúc khép kín nối các đỉnh của mỗi hình dưới đây, nhận xét về:

- độ dài các đoạn thẳng;

- góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp.

Bài làm chi tiết:

- Độ dài các đoạn thẳng là bằng nhau.

- Góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp là bằng nhau.

1. KHÁI NIỆM ĐA GIÁC ĐỀU

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 75 sgk toán 9 tập 2 ctst

Có nhận xét gì về các cạnh và góc của mỗi đa giác sau?

Bài làm chi tiết:

- Độ dài các cạnh của mỗi đa giác là bằng nhau.

- Số đo góc của mỗi đa giác là bằng nhau.

Giải chi tiết thực hành 1 trang 77 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho đường tròn (O; R), trên đó lấy các điểm M, N, P, Q, R sao cho số đo các cung MN, NP, PQ, QR, RM bằng nhau. Đa giác MNPQR có là đa giác đều không? Vì sao?

Bài làm chi tiết:

Các cung MN, NP, PQ, QR, RM chia đường tròn (O; R) thành 6 cung có số đo bằng nhau, suy ra số đo mỗi cung là 360^o : 5 = 72^o.

Ta có là góc nội tiếp chắn cung MN .

Xét MON, có: OM = ON = R MON cân tại O.

(tính chất tam giác cân)

.

Tương tự, ta có .

.

Xét OMN và ONP có:

          ;

          OM = OP;

          ON chung.

OMN = ONP (c – g – c).

MN = NP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta thu được ngũ giác MNPQR có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng nhau ( = 108^o).

Vậy MNPQR là một đa giác đều.

Giải chi tiết vận dụng 1 trang 77 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho lục giác đều ABCDEF có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA. Đa giác MNPQRS có là đa giác đều không? Vì sao?

Bài làm chi tiết:

Do ABCDEF là lục giác đều nên:

- .

- AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

Suy ra AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét SAM và MBN có:

          (chứng minh trên);

          AM = BN (chứng minh trên);

          SA = MB (chứng minh trên);.

SAM = MBN  (c – g – c).

SM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM (1).

Vì AS = AM (chứng minh trên) ASM cân tại A.

(tính chất tam giác cân)

(tổng 3 góc trong của tam giác).

Tương tự ta thu được:

;

;

;

;

.

Ta có: .

Tương tự, ta được: .

Từ (1) và (2), suy ra MNPQRS là đa giác đều.

2. PHÉP QUAY

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 77 sgk toán 9 tập 2 ctst

Vẽ hình vuông ABCD tâm O (Hình 5a). Cắt một tấm bìa hình vuông (gọi là ) cùng độ dài cạnh với hình vuông ABCD (Hình 5b). Đặt hình vuông trùng khít lên hình vuông ABCD sao cho tại đỉnh M của trùng với điểm A, rồi dùng đinh ghim cố định tâm của tại tâm O của hình vuông ABCD (Hình 5c). Quay hình vuông quanh điểm O ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi đỉnh M của trùng lại với đỉnh A (Hình 5d).

a) Khi điểm M trùng với B thì M vạch lên một cung tròn có số đo bằng bao nhiêu?

b) Trong quá trình trên, hình vuông trùng khít với hình vuông ABCD bao nhiêu lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay)? Ứng với mỗi lần đó, điểm M vạnh nên cung có số đo bao nhiêu?

Bài làm chi tiết:

a) Khi điểm M trùng với B thì M vạch lên một cung tròn có số đo bằng 270^o.

b) Trong quá trình trên, hình vuông trùng khít với hình vuông ABCD 4 lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay).

- Lần 1, điểm M vạch lên cung số đo 90^o.

- Lần 2, điểm M vạch lên cung số đo 180^o.

- Lần 3, điểm M vạch lên cung số đo 270^o.

- Lần 4, điểm M vạch lên cung số đo 360^o.

Giải chi tiết thực hành 2 trang 78 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm phép quay biến hình ngũ giác đều tâm I thành chính nó (Hình 8).

Bài làm chi tiết:

I đỉnh của ngũ giác đều chia đường tròn (I) thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung đo có số đo 72^o. Từ đó, các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o hoặc 360^o tâm I cùng chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.

Giải chi tiết vận dụng 2 trang 78 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một vòng quay may mắn có dạng hình đa giác đều 10 cạnh (Hình 9). Tìm các phép quay biến đa giác này thành chính nó.

Bài làm chi tiết:

10 đỉnh của đa giác đều, 10 cạnh chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau mỗi cung có số đo 36^o. Từ đó, các phép quay biến đa giác đều 10 cạnh thành chính nó là các phép quay 36^o, 72^o, 108^o, 144^o, 180^o, 216^o, 252^o, 288^o, 324^o, 360^o; tâm đường tròn cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

3. HÌNH PHẲNG ĐỀU TRONG THỰC TẾ

Giải chi tiết thực hành 3 trang 79 sgk toán 9 tập 2 ctst

Em hãy tìm một số hình phẳng đều trong thực tế

Bài làm chi tiết:

Hình phẳng đều trong thực tế: rubik, bàn cờ,…

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 79 sgk toán 9 tập 2 ctst

Gọi tên đa giác đều trong mỗi hình sau và tìm các phép quay có thể biến mỗi hình dưới đây thành chính nó.

Bài làm chi tiết:

a) Tam giác đều. Các phép quay biến tam giác đều thành chính nó là các phép quay 120^o, 240^o hoặc 360^o tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

b) Hình vuông. Các phép quay biến hình vuông thành chính nó là các phép quay 90^o, 180^o, 270^o, 360^o tâm I cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

c) Ngũ giác đều. Các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o, 360^o tâm A cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

d) Lục giác đều. Các phép quay biến lục giác đều thành chính nó là các phép quay 60^o, 120^o, 180^o, 240^o, 300^o, 360^o tâm B cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

e) Bát giác đều. Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là các phép quay 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o tâm C cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Giải chi tiết bài 2 trang 79 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho đa giác đều 9 cạnh có tâm O và AB, BC là hai cạnh đa giác (Hình 12).

a) Tìm số đo các góc , , .

b) Tìm các phép quay biến đa giác thành chính nó.

Bài làm chi tiết:

a) 9 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 9 phần bằng nhau, số đo mỗi cung là: 360^o : 9 = 40^o.

Vì là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ

.

Do OA = OB = R AOB cân tại O

.

Tương tự, ta có .

.

Ta có .

b) Các phép quay biến đa giác thành chính nó là các phép quay 40^o, 80^o, 120^o, 160^o, 200^o, 240^o, 280^o, 320^o hoặc 360^o tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Giải chi tiết bài 3 trang 80 sgk toán 9 tập 2 ctst

Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình đa giác đều nào? Tìm phép quay biến đa giác này thành chính nó.

Bài làm chi tiết:

- Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình bát giác đều.

- 8 đỉnh của đa giác được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 45^o. Do đó, các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o theo chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Giải chi tiết bài 4 trang 80 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều có các đỉnh nằm trên (O; R).

b) Tính các cạnh của các hình vừa vẽ theo R.

Bài làm chi tiết:

a) 

b) 

- Tam giác đều nội tiếp đường tròn nên ta có:

(a là độ dài cạnh tam giác đều)

- Hình vuông nội tiếp đường tròn nên ta có:

(d là đường chéo của hình vuông)

d = 2R hay

(x là độ dài cạnh hình vuông).

- Trong lục giác đều có khoảng cách từ tâm đến các đỉnh là bằng nhau (= R); các góc ở tâm đều bằng 60o nên lục giác đều gồm 6 tam giác đều.

Độ dài cạnh của lục giác đều là R.

Giải chi tiết bài 5 trang 80 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm các hình phẳng có tính đều:

a) Trong tự nhiên;                     b) Trong sản xuất, thiết kế, mĩ thuật.

Bài làm chi tiết:

a) Trong tự nhiên: mật ong, hoa tuyết,...

b) Trong sản xuất, thiết kế, mĩ thuật: trang trí nội thất, gạch,…

Giải chi tiết bài 6 trang 80 sgk toán 9 tập 2 ctst

Vòng trong của mái giếng trời hình hoa sen của nhà ga Bến Thành (Thành phố Hồ Chí Minh) có dạng đa giác đều 12 cạnh (Hình 14).

Hãy chỉ ra các phép quay biến đa giác đều thành chính nó.

Bài làm chi tiết:

12 đỉnh của đa giác chia  đường tròn thành 12 phần bằng nhau. Số đo mỗi cung là 30^o. Do đó, các phép quay biến đa giác này thành chính nó là các phép quay 30^o, 60^o, 90^o, 120^o, 150^o, 180^o, 210^o, 240^o, 270^o, 300^o, 330^o hoặc 360^o theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.