Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài 1: Elip

1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP

Hoạt động khám phá 1: Cho elip (E) có phương trình chính tắc

x2a2 + y2b2=1

(0<b<a) và cho điểm M(x0; y0) nằm trên (E).

Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (E) hay không?

Nếu điểm M(x0; y0) thuộc (E) thì ta có:

x2a2 + y2b2=1

Ta có: xo2a2 + −yo2b2

=−xo2a2 + yo2b2

=−xo2a2 + −yo2b2

=x2a2 + y2b2=1

Nên các điểm có tọa độ M1(x0; –y0), M2(–x0; y0), M3(–x0; –y0) cũng thuộc (E).

1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP

Hoạt động khám phá 1: Cho elip (E) có phương trình chính tắc

x2a2 + y2b2=1

(0<b<a) và cho điểm M(x0; y0) nằm trên (E).

Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (E) hay không?

Nếu điểm M(x0; y0) thuộc (E) thì ta có:

x2a2 + y2b2=1

Ta có: xo2a2 + −yo2b2

=−xo2a2 + yo2b2

=−xo2a2 + −yo2b2

=x2a2 + y2b2=1

Nên các điểm có tọa độ M1(x0; –y0), M2(–x0; y0), M3(–x0; –y0) cũng thuộc (E).

Thực hành 1: Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là

x2a2 + y2b2=1 (a>b>0)

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6

=>2a=8 và 2b=6

=> a=4 và b=3

=> c=√7

Toạ độ các đỉnh của elip là A1(–4; 0), A2(4; 0), B1(0; –3), B2(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là   

Tiêu cự của elip là 2c = 2√77.

Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.

Vận dụng 1: Hãy gấp một mảnh giấy hình elip thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Đầu tiên gấp tờ giấy sao cho hai đỉnh đối diện của elip trùng nhau.

Khi đó đường gấp sẽ đi qua hai đỉnh còn lại của elip, gấp tiếp tờ giấy sao cho hai đỉnh còn lại này trùng nhau. Khi đó ta đã gấp elip thành 4 phần chồng khít lên nhau.

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU

Hoạt động khám phá: Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): 

x2a2+y2b2=1 có hai tiêu điểm là F1(–c; 0), F2(c; 0) (Hình 6)

a) Tính F1M2và F2M2 theo x, y, c.

b, Chứng tỏ rằng: F1M2-F2M2=4cx, F1M-F2M=2cxa

a, F1M2

=[x – (–c)]2 + (y–0)2

= (x+c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2

F2M2

=(x–c)2+ (y–0)2 = x2– 2cx + c2+ y2

b, F1M2-F2M2 = (x2+ 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx

.=>(F1M + F2M)(F1M - F2M) = 4cx

=> 2a(F1M - F2M) = 4cx

c, (F1M + F2M) = 2a và (F1M - F2M) = 2cxa

Ta suy ra:

(F1M + F2M) + (F1M - F2M) = 2a+ 2cxa 

=> 2F1M = 2a + 2cxa

⇒⇒ MF1 = a+ cxa

 Từ F1M + F2M = 2a và F1M - F2M=2cxa

Suy ra: 

(F1M + F2M) - (F1M - F2M) = 2a - 2cxa 

=> 2F2M = 2a –2cxa 

=> MF2 = a –cxa

Thực hành 2: 

a, Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x,y) trên elip (E): 

x264 + y236 = 1

b, Tìm các điểm trên elip (E): x2a2 + y2b2 = 1

có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

a, Có a2 = 64, b2 = 36 => a=8, b=6 =>c=2√7.

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF1 = a + cax

= 8+27√8x

=8+7√4x

MF2= a - cax

=8-27√8x

=8-7√4x

b, Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF1 = MF2 ⇔⇔ 8 +7√4x=8-7√4

=> x=0  <=> y=6 hoặc y=-6

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M1(0; 6) và M2(0; –6).

Vận dụng 2: Người ta chứng minh được rằng nếu ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu điểm (Hình 7a)

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc

Vì âm thanh đi từ một tiêu đểm, khi đén một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu nên quãng đường âm thanh đã đi là MF1+MF2

Mà MF1+MF2 =(a + ca ) + (a - ca  )

Nên quãng đường âm thanh đi luôn không đổi dù đến các điểm khác nhau trên elip, vận tốc âm thanh cũng không đổi nên thời gian âm thanh đã đi cũng không đổi. Do đó âm thanh đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tớ tiêu điểm bên kia cùng một lúc

3.  TÂM SAI

Hoạt động khám phá 3: Cho biết tỉ số e=ca của các elip lần lượt là 34, 12, 14 (Hình 8)

Tính tỉ số ab theo e và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi e thay đổi.

Ta có: ab= a2−c2√a =1−e2−−−−−√

Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng "béo".

Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số ab càng gần 0 và elip trông càng "dẹt".

Thực hành 3: 

a, Tìm tâm sai của elip (E): x2100 + y299 = 1 và elip 

(E′):  x210 + y21 = 1

b, Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng "dẹt" hơn?

Có e= ca = a2−b2√a = a2−b2a2−−−−√

a) Tâm sai của (E) là e = 100−99100−−−−−√ =1100−−−√

=110 =0,1

tâm sai của (E') là e' =10−110−−−−√ = 910−−√ = 310√

≈ 0,95

b) Vì (E') có tâm sai lớn hơn tâm sai của (E) nên (E') có hình dạng "dẹt" hơn.

Vận dụng 3: TRong hệ mặt trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm mặt trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyên động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của trái đât với tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

Nhìn hình ta thấy quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b "dẹt" hơn so với quỹ đạo chuyển động của Trái Đất, do đó tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất nhỏ hơn tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

4. ĐƯỜNG CHUẨN

Hoạt động khám phá 4: Cho điểm M(x; y) trên elip (E): 

x2a2 + x2100 = 1 và hai đường thẳng Δ1= x+ca =0

Δ1= x-ca=0 (Hình 10). Gọi d(M; Δ1), d(M; Δ2) lần lượt là khoảng cách từ M đến Δ1, Δ2. Ta có (M;Δ1)=∥∥x+ae∥∥=

 (vì e > 0 và a+ex=MF1>0a+e⁢x=M⁢F1>0). Suy ra

Dựa theo cách tính trên, hãy tính MF2d(M,Δ2)

Có a – ex = MF2 > 0 nên a – ex > 0.

d(M,Δ2) = ∥∥x−ae∥∥

=∥ex−a∥e = a−exe (vì a – ex > 0).

Thực hành 4: Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a, (E1): x24 + y21

b, (E2): x2100 + y236

 Có a2 = 4, b2 = 1 ⇒⇒ a = 2, b = 1

=> c=√3

Toạ độ hai tiêu điểm của elip là 

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

Vận dụng 4: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 503

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2 + y2b2=1

(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là  503, suy ra 2ae= 503

=>  ae = 253=>  $502$3= 253

=> a2=25 

=> b2= 16

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x225 + y216=1

BÀI TẬP 

Bài tập 1: Cho elip (E): x264 +  x236 = 1

a, Tìm tâm sau, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật có sở của (E) và vẽ (E)

b, Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu điểm của M(0.6) trên (E)

c, Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E)

a) Có a2 = 64, b2 = 36 ⇒⇒ a = 8, b = 6 ⇒c=2√7.

Tâm sai của (E) là e=ca = 27√8 = 7√4

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12.

b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF1 = a + cax=8+7√4.0=8

MF2=a-cax=8-7√4=8

Bài tập 2: Tìm các điểm trên elip (E): x2a2+y2b2=1 có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

Xét khoảng cách từ M đến F1.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF1 = a + ca

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

=> ca.(-a) ≤ cax≤ -c ≤ cax  ≤ c

<=> a-c ≤ a+cax ≤ a+ cax ≤ a+c

Vậy a – c ≤ MF1 ≤ a + c.

Bài tập 3: Lập phương trìn chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 1696

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là

x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6.

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 1696

Suy ra: 2ae = 1696

=> ae=\frac{169}{12}$

=>a2c=\frac{169}{12}$

=> a26=\frac{169}{12}$

=> a2= 84,5

=> b2 = 48,5

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 

Bài tập 4: Cho elip (E):

x29 + x21 = 1

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF1 = NF2.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF1 = 2SF2.

a, Có a2=9 , b2= 1

=> a=3, b=1 => c= 2√2.

Tâm sai của (E) là e = ca = 22√3

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là MF1 = a + cax= 3+ 3.22√3= 3+ 2√2 

MF2= a - cax = 3- 3.22√3= 3- 2√2 

b, Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó NF1= a + xca 

NF2= a - xca 

NF1 = NF2 ⇔a + xca = a - xca 

<=> x=0 => y=1 hoặc y=-1

Vậy có hai điểm N thoả mãn là N1(0; 1) và N2(0; –1).

c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó SF1=a + xca

SF2= a - xca 

SF1 = 2SF2 ⇔ a + xca = 2(a - xca )

=> 

Vậy có hai điểm S thoả mãn là 

Bài tập 5: Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là khoảng 147 triệu km, tính khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là triệu kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng

x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trời là MF1 = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trơ là a – ea, suy ra a – ea = 147 ⇒⇒a =1471−e

Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là a + ea = a(1 + e) =1471−e.( 1+e) ≈152 triệu km

Vậy khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là 152 triệu km.

Bài tập 6: Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 của elip (E) và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là

MF1 = a – ex.

Vì –a ≤ x ≤ a nên a – ea ≤ a –ex ≤ a + ea.

Do đó khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a – ea và khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a + ea

=> 

Cộng theo vế 2 phương trình này ta được 2a = 113896, suy ra a = 6948.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được 6948 – 6948e = 6586 ⇒ e ≈ 0,052.

 Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I là 0,052.

Thực hành 1: Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 

x2a2 + y2b2=1  (a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 

x216 + y29=1

Lại có: c2= a2 + b2 = 25

Suy ra : c = 5 

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–4; 0) và A2(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F1(–5; 0) và F2(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.