Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài: Bài tập cuối chuyên đề 3

1. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x, y) của các conic sau:

a, x2169 + y21644 = 1

b, x225 - y21644 = 1

c, y2 = 11x

a) Elip có a2 = 169, b2 = 144

=> a= 13; b= 12

=> c= 5

Toạ độ các đỉnh của elip là A1(–13; 0), A2(13; 0), B1(0; –12), B2(0; 12).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F1(–5; 0), F2(5; 0).

Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là

MF1 = a + cax = 13 + 513x

MF2= a−cax = 13−513x

b,  Hypebol có a= 5, b= 12

=> c= 13

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–5; 0), A2(5; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F1(–13; 0), F2(13; 0).

Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là

MF1=  

MF2= 

c) Parabol có 2p = 11, suy ra p = 112

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(114; 0)

Bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF = x + 114

2. Cho elip (E): x225 + y29 = 1

a, xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của (E)

b, b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c, Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

a, Ta có: a= 5, b=3

=> c= 4 và ca = 45

Toạ độ các đỉnh của elip là A1(–5; 0), A2(5; 0), B1(0; –3), B2(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F1(–4; 0), F2(4; 0).

Tâm sai của elip là e = 45

b) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2 = 2px (p>0)

(P) có tiêu điểm là F2(4; 0) ⇒ P2 = 4 => p=8

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là y2 = 16x

c, Gọi phương trình chính tắc của (H) là

x2a2 - y2b2 = 1 (a>0, b>0)

(H) có hai đỉnh là F1(–4; 0), F2(4; 0); hai tiêu điểm là A1(–5; 0), A2(5; 0)

⇒⇒a = 4, c = 5 ⇒ b= 3

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x216 - y29 = 1

3. Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:

a, x216 -  y29 = 1

b, x214 - y22 = 1

c, y2 = 7x

a) Đây là một elip.

a= 4, b= 23–√ 

=> c= 2

e= 24 = 12

ae = 8

Suy ra elip có tiêu điểm F1(-2;0), đường chuẩn Δ1: x = -8; tiêu điểm F2(2;0),

đường chuẩn Δ1: x = 8 và tâm sai e = 12

b) Đây là một hypebol.

a= 14−−√, b= 2–√ => c= 4

e= ac = 414√

ae = 72 

Suy ra hypebol có tiêu điểm F1(-4;0), đường chuẩn Δ1: x = -72

tiêu điểm F2(4;0)

đường chuẩn Δ1: x = 72

và tâm sai e =414√

c, ) Đây là một parabol.

Có 2p = 7, suy ra p =72

Suy ra parabol có tiêu điểm F(74),0

đường chuẩn Δ: x=-74 và tâm sai e = 1.

4. Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a, e= 12

b, e= 1

c, e=2

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: 

=>(1−x)2+(1−y)2√|x+y−1|12+12√ = 12

<=> (1−x)2+(1−y)2−−−−−−−−−−−−−−−√ = 12. |x+y−1|12+12√

<=> (1−x)2+(1−y)2 = |x+y−1|82

<=> (1- 2x+x2) + (1-2y+y2)= x2+y2+1+2xy−2x−2y8

<=> 8(1- 2x+x2 + 1-2y+y2) = x2 + y2 +1 + 2xy - 2x - 2y 

<=> 7x2 + 7y2 - 2xy -14x - 14y + 15 = 0

Vậy phương trình của conic đã cho là:  

7x2 + 7y2 - 2xy -14x - 14y + 15 = 0

b, Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic.

Khi đó, ta có:

 =>(1−x)2+(1−y)2√|x+y−1|12+12√ = e

<=> (1−x)2+(1−y)2−−−−−−−−−−−−−−−√ = |x+y−1|12+12√

<=> (1−x)2+(1−y)2 = |x+y−1|22

<=> (1- 2x+x2) + (1-2y+y2)= x2+y2+1+2xy−2x−2y2

<=> 2(1- 2x+x2+ 1-2y+y2)= x2 + y2 +1 + 2xy - 2x - 2y 

<=> x2 +y2 - 2xy - 2x-2y +1=0

c, Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic.

Khi đó, ta có: 

=>(1−x)2+(1−y)2√|x+y−1|12+12√ = 2

 => (1−x)2+(1−y)2−−−−−−−−−−−−−−−√ = 2|x+y−1|12+12√

=> x2 +y2 +4xy -2x -2y=0

Vậy phương trình của conic đã cho là 

x2 +y2 +4xy -2x -2y=0

5. Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng 

x2a2+y2b2 = 1 (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Mặt Trăng là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là MF1 = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là a – ea, suy ra a – ea = 362600

⇒a = 3626001−e

Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là

a + ea = a(1 + e) =3626001−e (1+e) ≈404726km

Vậy khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 404726 km.

6. Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic( xem phần đọc thêm Bạn có biết?ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai) Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: tia sáng hướng tới tiêu điểm F1 của hypebol(H) khi gajwo một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F2. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol(P) và hình một nhánh của hypebol(H). Parabol (P) có tiêu điểm F1 và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F1 với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F2 (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF1, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F2 là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF1 = 14 m, SF2 = 2 m và AF1 = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

Gọi phương trình chính tắc của (H) là

x2a2 - y2b2=1

(a > 0, b > 0).

F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) nên 2c = F1F2 = SF1 – SF2 = 14 – 2 = 12, suy ra c = 6.

AF2 = F1F2 – AF1 = 12 – 1 = 11.

Vì A thuộc (H) nên 2a = |AF1 – AF2| = |1 – 11| = 10, suy ra a = 5,

=> b2 = c2 - a2 = 62 - 52 =11

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x225 - y211=1

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2 = 2px (p>0)

S là đỉnh và F1 là tiêu điểm của parabol

nên P2 =SF1 = 14, suy ra p = 28.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là  y2 = 56x

7. Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là 16m

a) Viết phương trình chính tắc của (P).

b) Tính khoảng cách từ một điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F.

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol là y2= 23 (p > 0).

Ta có P2 =OF = 16p= 13

⇒ phương trình chính tắc của parabol là y2= 23x

b, Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF = x +P2 =0,06 +  16=  59150m

Vậy khoảng cách từ điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F là 59150m

8.  Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa hai mép vành của gương là MN = 32 cm và chiều sâu của gương là OH = 24 cm

a) Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

b) Biết bóng đèn đặt tại tiêu điểm F của gương. Tính khoảng cách từ bóng đèn tới đỉnh O của gương.

a,  Gọi phương trình chính tắc của parabol là 

y2 = 2px (p > 0).

Dựa vào hình vẽ, ta có: khi x = 24 thì y = 16

=> 162 = 2p.24

=> p= 163

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y2=323x

b, Khoảng cách từ bóng đèn tới đỉnh O của gương là

OF = P2 = 83cm