Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài: Bài tập cuối chuyên đề 2
Dưới đây là phần hướng dẫn giải chi tiết cụ thể cho bộ chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo bài: Bài tập cuối chuyên đề 2. Lời giải đưa ra ngắn gọn, cụ thể sẽ giúp ích cho em các em học tập ôn luyên kiến thức tốt, hình thành cho học sinh phương pháp tự học, tư duy năng động sáng tạo. Kéo xuống để tham khảo
1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi
nϵN∗
a, 13+23+33+...+n3=n2(n+1)24
b, 1.4+2.7+3.10+...+n(3n+1)=n(n+1)2
c, 11.3 + 13.5 + 15.7 +...+ 1(2n−1).(2n+1)=n2n+1
a, Với n=1 ta có 13=12(1+1)2)4
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
13+23+33+...+ k3=k2(1+1)2)4
Lại có:
13+23+33+...+ k3+(k+1)3=(k+1)2.[(k+1)+1]^2$.4
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
13+23+33+...+ k3+(k+1)3
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b, Với n=1
Ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1+1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh
1.4+2.7+3.10+....+ k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
1.4+2.7+3.10+....+ k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+ (k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]
=(k+1)[k2 + 4k + 4)
=(k+1)(k+2)2
=(k+1)[(k+1)+1]2
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
c, Với n = 1, ta có:
1(2.1−1)(2.1+1)=13=13=12.1+1
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
=
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
=
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
2. Chứng minh rằng với mọi nϵN∗
a, 3n-1-2n chia hết chp 4
b, 7n-4n-3n chia hết cho 12
a, Với n=1, ta có 31-1-2.1=0⋮4
Do đó khẳng định đúng với n=1
Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có 3k-1-2k ⋮4
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k+1 - 1 - 2(k+1)
=3.3k - 1 - 2k - 2k - 2
=3.3k - 3 - 6k + 4k
=3(3k -1-2k)+4k
Vì (3k-1-2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên (3k-1-2k)+4k ⋮4
Hay 3k+1 - 1 - 2(k+1) ⋮4
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b, Với n=1, ta có: 71 - 41 - 31=0\vdots 12$
Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 71 - 41 - 31=0\vdots 12$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
7k+1-4k+1-3k+1\vdots 12
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k+1-4k+1-3k+1
=7.7k-4.4k-3.7.4k
=7.7k-7.4k-7.3k+3.4k+43k
=7(7k – 4k– 3k) + 3 . 4k+ 4 . 3k
=7(7k – 4k– 3k)+124k−1+123k−1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k– 3k); 124k−1 và 123k−1 đều chia hết cho 12 nên
7(7k – 4k– 3k)+124k−1+123k−1 ⋮12
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
3. Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n ϵN∗
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ 12 + 13+...+ 1n ≤ n+12 đúng với mọi nϵN∗
Với n = 1, ta có 11=1=1+12
Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
1+ 12 + 13+...+ 1k ≤ k+12
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
1+ 12 + 13+...+ 1k+ 1k+1 ≤ k+12
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
1+ 12 + 13+...+ 1k+ 1k+1 ≤ k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)
≥ k2+2k+1+22(k+1) ≥ k2+2k+k+22(k+1)
=k2+3k+22(k+1) =(k+1)(k+2)2(k+1)
=(k+2)2
=(k+1)+12
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
5. Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1l nước vào bình rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).
a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n∈ ℕ*
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
a) Sau bước 1 thì trong bình có 12 l nước, do đó a1 =12
Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34l nước,
do đó: a2=34
Sau bước 3 thì trong bình có:(34+1)2=78l
Ta có thể dự đoán an=2n−12n
b, Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với n = 1, ta có a1=12=21−121
Do đó công thức đúng với n = 1.
Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak=2k−12k
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
a(k+1)=2k+1−12k+1
Thật vậy:
ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ
k + 1 là:
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
6. Tìm hệ số của x3 trong khai triển:
a, (1−3x)8
b, (1+x2)7
a, (1−3x)8
= 
=
Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là
=−1512
b, Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(1+x2)7= 
=
Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là
=358
7. Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x+3)(x−2)2
(2x+3)(x−2)2=2x(x−2)6+3(X−2)6
Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển:2x(x−2)6 và 3(X−2)6
Ta có: 2x(x−2)6
=2x
Hệ số của x5 trong khai triển này là 2(−2)2$C_{2}^{6}$=120
Lại có: 3(X−2)6
Hệ số của x5 trong khai triển này là 3(−2)2C61=-36
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 120 + (–36) = 84.
7. Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x+3)(x−2)2
(2x+3)(x−2)2=2x(x−2)6+3(X−2)6
Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển:2x(x−2)6 và 3(X−2)6
Ta có: 2x(x−2)6
=2x
Hệ số của x5 trong khai triển này là 2(−2)2$C_{2}^{6}$=120
Lại có: 3(X−2)6
Hệ số của x5 trong khai triển này là 3(−2)2C61=-36
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là 120 + (–36) = 84.
8. a)Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1+2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
(1+2x)6
=16 + 6.15 + 15.14 (2x)2 + 20.13 (2x)3 +15.12(2x)^4+6.1(2x)^5+(2x)^6$
=1+2x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6
Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x2
b) Với x nhỏ thì X3,X4,X5,X6 sẽ rất nhỏ.
Do đó có thể coi (1+2x)6 ≈ 1 + 12x + 60x2
Khi đó: 1,026=(1+2.0,01)6 ≈ 1+12.0,01+60.0,012=1,126
9. Trong khai triển biểu thức (3x–4)15 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được
(3x–4)15
(với ai là hệ số của xi).
Thay x = 1, ta được:
(3.1−4)15
=
=(−1)15=-1
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.
10. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*
a, 1+ 2C1n4+ 4C_{n}^{2}+ 2^{n-1}C_{n}^{n-1}+ 2^{n}C_{n}^{n}$
=(1+2)n= 3n
b, (x+1)2n
=
=
Cho x = –1, ta được:
(−1+1)2n
=
=
=>
=0
=>