Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài 2: Hypebol

1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG HYPEBOL

Hoạt động khám phá 1: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc

x2a2 + y2b2=1 và điểm M(x0; y0) nằm trên (H). Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (H) không?

Nếu điểm M(x0; y0) thuộc (H) thì ta có:

 xo2a2 + yo2b2=1

Nên:

xo2a2 + −yo2b2

= −xo2a2 - yo2b2

=−xo2a2 - −yo2b2=1

=xo2a2 - yo2b2=1

Vận dụng 1: Khi bay với vận tốc siêu nhanh( tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường) một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol. Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính độ cao của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng 40mile dăm là đơn vị đo khoảng cách. 1mile= 1,6km và (H) có phương trình: x2400 - y2100=1

Khi x = 40 thì 

402400 - y2100=1

=> y2100= 3

=> y2= 300 => 

Bề rộng của thảm nhiễu là 20√3203 (mile)

 Cao độ của máy bay là 203√5 ≈6,93 mile

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU

Hoạt động khám phá 2: Cho điểm M(x,y) nằm trên hypebol

(H): x2a2 - y2b2=1

a) Chứng minh rằng F1M2 –F2M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= -2cxa

Từ đó, chứng minh các công thức: F1=-a-ca

F2= a-cax

c, Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= . Từ đó, chứng minh các công thức: 

F1=a+ca; 

F2= -a+cax

a, F1M2

= [x–(–c)]2+ (y–0)2 

= (x+c)2 +y2 

= x2 + 2cx +c2 +y2

F1M2

=(x–c)2 + (y–0)2

=x2 - 2cx +c2 +y2

F1M2 - F1M2

= (x2 + 2cx +c2 +y2) - (x2 - 2cx +c2 +y2) 

=4cx.

b, Ta có: F1M2 - F1M2=4cx.

=>(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx

=> (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx

=>  MF1 + MF2 =4cx2a= −2cxa

Khi đó:

(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) =−2cxa + 2a

=> 2MF1 =−2cxax+ 2a

=> MF1= a+ cxa

MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2cxa - 2a

=> 2MF2 =  2cxa -2a

=> MF2= -a+ cxa

Thực hành 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x;y)  trên hypebol

(H): x264 - y236=1

Ta có: 

a2=64

b2=36

=> a=8; b=6 => c=10

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

Vận dụng 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đingr A2(a,0) trên hypebol 

 (H): x2a2 + y2b2=1

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) là:

3. TÂM SAI

Hoạt động khám phá 3: Cho hypebol 

(H): (H): x2a2 - y2b2=1

Chứng tỏ rằng ca > 1

Ta có:

ca = a2+b2√a

= 1+b2a2−−−−−√ > 1

Thực hành 3: Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a, (H1): x24 + y21=1

b, (H2): x29 + y225=1

c, (H3): x23 + y23=1

a, Theo đề bài ta có:

a=2, b=1 => c=√5

=> Tâm sai của hypebol là e=ca=  5√2

b, Theo đề bài ta có: 

a=3, b=5 => c=√31

=> Tâm sai của hypebol là e =ca = 31√3

c, Theo đề bài ta có: 

a=√3, b=√3

=> c=√6

=> Tâm sai của hypebol là √2

Vận dụng 3: Cho hypebol (H) có tâm sai bằng 2–√. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là 

x2a2 + y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng 2–√ => ca = 2–√

=> a2 +  b2 = 2a2

=> a2 = b2 => a=b

=> 2a= 2b

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F2 của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là

x2a2 + y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là  = ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

=> 

Vậy phương trình chính tắc của (H) là 

b,  Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

4. ĐƯỜNG CHUẨN

Hoạt động khám phá 4:  Cho điểm M((x; y) trên hypebol 

(H): x2a2 + y2b2=1 và hai đường thẳng

Gọi d(M; Δ1), d(M; Δ2) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ1, Δ2.

Ta có: e

Dựa theo cách tính trên, tính   

Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: 

x+0y− ac =0 

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có:

Suy ra: 

Thực hành 4: Tìm tọa đọ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đưởng chuẩn tướng ứng của các hypebol sau: 

a, (H1): x24 + y21=1

b, (H2): x236 + y264=1

c, (H3): x29 + y29=1

a, a=2, b=1 => c=√5

Hai tiêu điểm của hypebol là 

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

 Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

 b, a2=36, b2=64 

Suy ra: c = 10

=>Hai tiêu điểm của hypebol là 

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

 Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

 c , a2=9, b2=9

=> c= 3√2

Hai tiêu điểm của hypebol là 

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

Vận dụng 5: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 28813

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 

x2a2 + y2b2=1 (a > 0, b > 0).

 Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.

 Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 28813

suy ra: 2ac = 28813

=> ae= 14413

=> a2c= 14413

=> a213= 14413

=> a2= 144

=> b2 = 25

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là 

BÀI TẬP

1. Cho hypebol (H): x2144 + y225=1

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm

(3; 2512) trên (H)

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).

a, Ta có:

a = 12, b = 5 => c= 13

Tâm sau của (H) là e = ca =1312

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(13, 2512) là:

=13112

 = 2512

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F1(–13; 0) và F2(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

c ,

NF1 = 2NF2 ⇔ ∣∣a+cax∣∣

= 2∣∣a−cax∣∣

<=> 

<=> 

x = 4813 loại vì 0 < x < a.

x= 43213 suy ra y= 18013 hoặc y= -18013

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là 

2. Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 365

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

x2a2 + y2b2=1  (a > 0, b > 0).

Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 365 

Suy ra 2ae = 365 

=>a2c= 185

=> a2 = 36 

=> b2=64

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

x236 + y264=1

3. Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

a, Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).

Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF1 ⇒⇒ IF2 + r = IF1 ⇒⇒ IF1 – IF2 = r

Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF1 ⇒⇒ IF2 – r = IF1

⇒⇒ IF2 – IF1 = r.

Vậy ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp

⇒⇒ I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.

b, Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là 

x2a2 - y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r2

F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, suy ra b2 = 15r24

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là

x2r2 - y215r24=1

4. Trong hoát động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600km, vận tốc sóng vô tuysn là 300 000 km/a và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn là cách nhau 0,0012s ( hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F1F2, đơn vị trên các trục là km.

Giả sử phương trình chính tắc của (H) là

x2a2 - y2b2=1  (a > 0, b > 0).

Gọi t1 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F1; t2 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F2, v là vận tốc sóng vô tuyến.

Theo đề bài ta có: |t1 – t2| = 0,0012

Suy ra ta có:
|vt1 – vt2| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)

=> |MF1 – MF2| = 360 với mọi vị trí của M

=>  2a = 360 ⇒ a = 180.

Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km ⇒ 2c = 600 ⇒⇒ c = 300

=> b2 = c2-a2 = 3002 - 1802 = 57600

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x232400 - y257600=1