Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài 2: Nhị thức Newton

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có   cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có  cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có  cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Thực hành 1: Hãy khai triển

a, $(a-b))^{6}$

b, $(1+x)^{7}$

Hướng dẫn trả lời:

a, $(a-b))^{6}$

b, $(1+x)^{7}$

2. TAM GIÁ PASCAL

Hoạt động khám phá 2: Từ các công thức khai triển:

 có thể dự đoán rằng, với mỗi n∈ℕ*,

 Hãy chứng minh các công thức trên.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 

Thực hành 2: Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) $(2x+1)^{6}$

b) $(2x+1)^{6}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

 b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

3.VẬN DỤNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Thực hành 3: Xác định hệ số của $x^{2}$ trong khai triển 

$(3x+2)^{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Công thức nhị thức Newton: 

Số hạng chứa xkxk trong khai triển của  

 Áp dụng công trên ta có:

 Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với 9−k=29−k=2 hay k=7. Do đó hệ số của $x^{2}$ là

Thực hành 4: Biết rằng trong khai triển của $(x+a)^6$ với a là một số thực, hệ số của 

$x^4$ là 60. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

 Số hạng chứa $x^4$ ứng với 6−k=46−k=4 hay k=2k=2. Hệ số của số hạng chứa $x^4$  là 

Theo giả thiết ta có:=60

 Vậy a=2 hoặc a=-2

Thực hành 5: Chứng minh với mọi

n∈N∗, ta có

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

 Thay x=−1 ta được:

Vận dụng: Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy 0 quả (tức là không lấy quả nào)?

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử lấy k quả cầu từ hộp A cho sáng hộp B. (0≤k≤10)

Để lấy k quả cầu, có Ck10C10k cách lấy. (trường hợp không lấy quả nào được tính là 1 cách

Vậy số cách lấy một số quả cầu (kể cả cách lấy 0 quả) từ hộp A cho sang hộp B là:

BÀI TẬP

1. Khai triển biểu thức

Hướng dẫn trả lời:

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

3. Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của $(ax + 1)^6$, hệ số của x⁴ gấp bốn lần hệ số của $x^2$. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

 Số hạng chứa $x^4$ ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là

 Số hạng chứa $x^2$ ứng với giá trị k = 4. Hệ số của số hạng này là

Theo giả thiết, ta có $15a^4$ = 4 . 15a^2, suy ra a = 2

hoặc a = –2.

Vậy a = 2 hoặc a = –2.

4. Biết rằng hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1+3x)^n$ là 90. Tìm giá trị của n

Hướng dẫn trả lời:

Số hạng tổng quát của khai triển $(1 – 3x)^n$ là:

 Số hạng chứa $x^2$ ứng với k = 2.

Hệ số của $x^2$ là 90 nên ta có:

<=> n(n-1)=20

<=> $n^{2}$ -n -20 =0

=> n= -4 (loại ) và n=5

Vậy n=5

5. Chứng minh công thức nhị thức Newton ( công thức(1) trang 35) bằng phương pháp quy nạp toán học

Hướng dẫn trả lời:

 Với n = 1, ta có: $(a + b)^1$ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

 Theo giả thiết quy nạp ta được: 

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

6. Biết rằng $(3x-1)^7$ = a0 + a1x + $a2x^2$2+ $a3x^3$ + $a4x^4$ + $a5x^5$ + $a6x^6$ + $a7x^7$.

a) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7;

b) a0 + a2 + a4 + a6.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $(3x-1)^7$

= $2187x^7$ – $5103x^6$ + $5103x^5$ – $2835x^4$ + $945x^3$ – $189x^2$ + 21x – 1.

a, a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7

= (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128.

b, a0 + a2 + a4 + a6

= (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

7. Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Hướng dẫn trả lời:

Vì tập hợp đã cho có 12 phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của nó là: $^{C_{k}^{12}}$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp này là: 

 $^{C_{0}^{12}}$ + $^{C_{1}^{12}}$ + $^{C_{2}^{12}}$ +....+ $^{C_{11}^{12}}$ + $^{C_{12}^{12}}$

Lại có: $^{C_{0}^{12}}$ + $^{C_{1}^{12}}$ + $^{C_{2}^{12}}$ +....+ $^{C_{11}^{12}}$ + $^{C_{12}^{12}}$ = $2^{12}$ =4096

Vậy một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả 4096 tập hợp con.

8. Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Hướng dẫn trả lời:

a, $^{C_{0}^{15}}$  cách chọn ra 0 bút chì màu;

$^{C_{1}^{15}}$ cách chọn ra 1 bút chì màu;

$^{C_{2}^{15}}$ cách chọn ra 2 bút chì màu;

...

$^{C_{15}^{15}}$ cách chọn ra 15 bút chì màu.

Vậy có tổng cộng $^{C_{0}^{15}}$ + $^{C_{1}^{15}}$ +...+ $^{C_{15}^{15}}$= $2^{15}$=32768 cách chọn ra số bút chì màu

b, Số cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu là:
 $^{C_{0}^{15}}$ + $^{C_{1}^{15}}$ +...+ $^{C_{8}^{15}}$

Vì  $^{C_{0}^{15}}$=$^{C_{15}^{15}}$

$^{C_{1}^{15}}$= $^{C_{14}^{15}}$

....

$^{C_{7}^{15}}$= $^{C_{8}^{15}}$

Nên $^{C_{0}^{15}}$ + $^{C_{1}^{15}}$ +...+ $^{C_{7}^{15}}$

=$\frac{1}{2}$.($^{C_{0}^{15}}$ + $^{C_{1}^{15}}$ +...+ $^{C_{15}^{15}}$)

=$\frac{1}{2}$.32768

=>  $^{C_{0}^{15}}$ + $^{C_{1}^{15}}$ +...+ $^{C_{8}^{15}}$

=16384+6345=22819.

Vậy có 22819 cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu.