Giải chuyên đề học tập Toán 10 CTST bài 3: Parabol

1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG PARABOL

Hoạt động khám phá 1: Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x0; y0) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x0; –y0) cũng nằm trên parabol (P).

M(x0; y0) thuộc (P) thì yo2 = 2pxo

Lại có: −yo2= yo2= 2pxo

Nên M'(x0; –y0) cũng thuộc (P).

Thực hành 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a, (P1): y2 =2x

b,(P2): y2 =x

c, (P3):y2= 15

a) Có 2p = 2, suy ra p = 1.

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(12; 0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

 Phương trình đường chuẩn của parabol là x =-12

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

b) Có 2p = 1, suy ra p =12

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(-12; 0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x =-14

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

c) Có 2p =15

suy ra p =110

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(120; 0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x =-120

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

Vận dụng 1: Trong mặt phẳng xoy, cho điểm A(2,0) và đường thẳng d: x+2=0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x,y) của các đường tròn (C') thay đổi nhưng luôn luôn đi qua a và tiếp xúc với d

Có JA = 

Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|.

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d ⇔⇔ JA = d(J; d)

Vậy (L) là một parabol có phương trình y2 = 8x.

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU VÀ TÂM SAI CỦA PARABOL

Hoạt động khám phá 2: Cho điểm M(x; y) trên parabol (P): $y^2^ = 2px (H2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F của (P).

Vì M thuộc (P) nên $y^2^ = 2px 

Khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F là:

MF = 

 =

=x+ P2 (Vì x+ P2 > 0).

Thực hành 2: Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng:

a, Điểm M1(1; –4) trên (P1): y2 = 16x

b, Điểm M2(3; –3) trên (P2): y2= 3x

c, Điểm M3(4; 1) trên (P3): y2= 14x

a) Có 2p = 16, suy ra p = 8.

Bán kính qua tiêu của M1 là: 

FM1= x+ P2x

=1+28x =5

b ,Có 2p = 3, suy ra p =32

FM2= x+ P2x 

=3+34x =154x

c) Có 2p =14x => p= 18x

Bán kính qua tiêu của M3 là:

FM3= x+ P2x

=4+116

=6516

Vận dụng 2: Một cổng có dạng một đường parabol(P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9 m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổng. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng

.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc O trùng với đỉnh của parabol và trục Ox trùng với tâm đối xứng của parabol, đơn vị trên hai trục toạ độ là mét.

Giả sử parabol có phương trình chính tắc

y2= 2px (p > 0).

Vì chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9 m nên ta có: khi x = 7,6 thì y = 92 

=> (92)2 = 2p. 7,6

=> p= 405304

=> Toạ độ của tâm ngôi sao là F(P2; 0)

Hay F(405304;0)

Vận dụng 3: Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc y2 = 0,25x. Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten đặt tại tiêu điểm F của (P).

Có 2p = 0,25 ⇒⇒ p = 0,125 ⇒ P2= 0,0625p2=0,0625.

Khoảng cách từ điểm M(0,25; 0,25) trên ăng-ten đến F bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn x+ P2 =0 

hay x + 0,0625 = 0 của parabol:

MF= x+ P2= 0,25+0,0625=0,3125

BÀI TẬP

1. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a, (P1): y2 = 7x;

b, (P2): y2= 13x

c, (P3): y2= 2–√ x

a,  Có 2p = 7 

⇒ p = 72 => P2 = 74

⇒ Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(74;0)

phương trình đường chuẩn của parabol là x + 112=0

b, Có 2p =13

=> p= 16

=> P2 = 112

=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(112;0)

Phương trình đường chuẩn của parabol là: x+112=0

c, Có 2p = √2 => p= 2√2

=> P2=2√4

=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(2√4;0)

phương trình đường chuẩn của parabol là x+2√4

2. Tính bán kính trên qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau:

a) Điểm M1(3; –6) trên (P1): y2 = 12x

b) Điểm M2(6; 1) trên (P2): y2= 16x

c) Điểm M3(3–√; 3–√) trên (P3): y2= 3–√ x

a) Có 2p = 12, suy ra p = 6.

Bán kính qua tiêu của M1 là: FM1 = x + P2=3+ 62 =6

b) Có 2p = 16

=> p= 112

Bán kính qua tiêu của M2 là: FM2 =x + P2=6+ 124= 14524

c, Có 2p = 3–√ 

 suy ra p=3√2

Bán kính qua tiêu của M3 là: 

FM3 = x + P2= P2= 3–√ + 3√4 = 53√4

3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(14; 0) và đường thẳng d: x+ 14 =0. Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d. 

Có MA =

Khoảng cách từ M đến d là: d(M; d) = 

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d ⇔ MA = d(M; d)

 Vậy (P) là một parabol có phương trình y2= 8x

4. Cho parabol (P). Trên (P) lấy hai điểm M, N sao cho đoạn thẳng MN đi qua tiêu điềm F của (P). Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến đường chuẩn Δ của (P) bằng 12 MN và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với Δ.

Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là

y2= 2px(p>0)

Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M, I, N lên Δ.

Vì I là trung điểm của MN nên IB là đường trung bình của hình thang MACN

IB= 12(MA+CN)= 12(MF+CF)= 12MN

Đường tròn đường kính MN chính là đường tròn tâm I, bán kính IB

Lại có Δ vuông góc với IB tại B

Vậy đường tròn đường kính MN tiếp xúc với Δ tại B.

5. Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P)

Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là 

y2= 2px(p>0)

Gọi toạ độ của M là (x; y).

F(P2, 0) là tiêu điểm của (P), H là hình chiếu của M lên đường chuẩn

Δ:  x+P2=0 của (P)

Khi đó:

MF= 

=

=

MH= 

Vậy MF = MH, mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P), do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) bằng bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

6. Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2= 2px(p>0)

Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.

Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = x+ P2  ≥ P2

khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là P2 km

=> P2=112 => p=224

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2=448x

b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là x=P2

Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:

AF= x+ P2= P2+P2= p= 224km

7. Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc y2= 6x. Tính khoảng cách từ điểm M(1; √6) rên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét).

Có 2p = 6, suy ra p = 3.

Khoảng cách từ điểm M(1; √6) trên gương đến tiêu điểm của (P) là:

MF= x+ P2 = 52 = 2,5cm