Bài 1 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh
I Là trung điểm của MN.
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét $\Delta ABC$,
ta có: MA = MB và NA=NC
$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra MN // BC, suy ra BMNC là hình thang.
b) Xét $\Delta ABE$, ta có: MA = MB và MI // BE, nên IA=IE.
Suy ra MI là đường trung bình của $\Delta ABE$ suy ra MI = $\frac{BE}{2}$
Xét $\Delta AEC$, ta có: NA = NC và IN // EC, nên IA = IE.
Suy ra IN là đường trung bình của $\Delta AEC$ suy ra IN = $\frac{EC}{2}$
Ta lại có BE = EC, suy ra MI = IN. Vậy I là trung điểm của MN.
Bài 2 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM (M - BC). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại E. Chứng minh:
a) EF=FB
b) AE= $\frac{1}{3}$-AB
c) CE= 4EI
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét $\Delta BCE$
ta có: MB=MC và MF // CE $\Rightarrow$ EF=FB.
b) Xét $\Delta AMF$
ta có: IA = IM và EI // ME $\Rightarrow$ EA=EF.
$\Rightarrow$ EA = EF = FB
Vậy AE = $\frac{1}{3}$AB.
c) Ta có MF là đường trung bình của $\Delta BCE$ nên CE = 2MF.
Ta có IE là đường trung bình của $\Delta AMF$ nên MF = 2IE. Suy ra CE =4EI.
Bài 3 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho làn giáo ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau lại G ($M in AC, N \in AB$). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, CC. Chứng minh:
a) MN // DE;
b) ND // ME.
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét $\Delta ABC$, ta có: MA=MC và NA=NB, nên MN là đường trung bình của $\Delta ABC$,
suy ra MN / BC (1)
Xét $\Delta GBC$, ta có: BD = DG và CE=EG,
nên DE là đường trung bình của$\Delta GBC$,
suy ra DE // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // DE.
b) Xét $\Delta ABG$, ta có: BD=DG và NB=NA, nên ND là đường trung bình của
$\Delta ABG$, suy ra ND // AG. (3)
Xét $\Delta ACG$, ta có: MC = MA và CE = EG, nên ME là đường trung bình của
$\Delta ACG$, suy ra ME // AG. (4)
Từ (3) và (4) suy ra ND / ME.
Bài 4 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD, AC. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Hướng dẫn trả lời:
Xét $\Delta ABD$, ta có: MA = MD và PD = PB, nên MP là đường trung bình của $\Delta ABD$, suy ra MP // AB. Mà AB // CD, suy ra MP // CD.
Xét $\Delta ADC$ , ta có: MA = MD và QA = QC, nên MQ là đường trung bình của AADC, suy ra MQ // CD.
Xét $\Delta BDC$ , ta có: PB = PD và NB = NC, nên PN là đường trung bình của $\Delta BDC$, suy ra PN // CD.
Qua điểm $M \notin CD$ có: MP // CD và MQ // CD, suy ra M, P, Q thẳng hàng.
Qua điểm $P \notin CD$ có: MP // CD và PN // CD, suy ra M, P, N thẳng hàng.
Vậy bổn điểm M, N, P, Q thẳng hàng
Bài 5 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC
a) Chứng minh tứ giác AMNB là hình thang.
b) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF=MI. Chứng minh EF // AB.
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét $\Delta ABC$ , ta có: MA = MC và NB = NC, nên MN là đường trung bình của AABC, suy ra
MN // AB, suy ra AMNB là hình thang.
b) Xét $\Delta IEF$ , ta có: NE = NI và MF = MI, nên MN là đường trung bình của AIEF, suy ra
MN // EF.Mà MN // AB, suy ra EF // AB.
Bài 6 trang 45 SBT Toán 8 tập 2 CTST: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // QO ($M \in OP$), IN // PO(N = QC). Chứng minh:
a) Tam giác IMN cần tại I.
b) OI là đường trung trực của MN.
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét AOPQ, ta có: IP = IQ và IM // QO, nên MO=MP.
Xét $\Delta OPQ$ , ta có: IP = IQ và MO = MP, nên IM là đường trung bình của AOPQ, suy ra IM =$\frac{1}{2}$ QO
Tương tự, IN là đường trung bình của $\Delta OPQ$, suy ra IN = $\frac{1}{2}$ PO.
Mà QO = PO, suy ra IM = IN, suy ra $\Delta IMN$ cân tại I.
b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.
Xét $\Delta OPQ$, ta có: MO = MP và NO = NQ, nên MN là đường trung bình của $\Delta OPQ$, suy ra MN // PQ. (1)
$\Delta OPQ$ cân tại O có OI là đường trung tuyến, suy ra OI cũng là đường cao của
$\Delta ΟΡQ$.
Suy ra OI $\perp$ PQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN $\perp$ OI tại K hay MN $\perp$ IK
Mà $ \Delta IMN$ cân tại I, nên K cũng là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN