Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 2: Đường trung bình của tam giác

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Giữa hai điểm B và C có một hồ nước (xem hình bên). Biết DE = 45 m. Làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C

Hướng dẫn trả lời:

Theo kiến thức bài trước:

Xét tam giác ABC ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$ theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Suy ra $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$, vậy BC = 2DE = 90 (m)

Sau khi học xong bài này:

Ta có: D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $DE=\frac{1}{2}BC$ vậy BC = 2DE = 90 (m)

1. Đường trung bình của tam giác

Khám phá 1: Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với cạnh BC và cắt AC tại N (Hình 1). Hãy chứng minh N là trung điểm của AC

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

Suy ra N là trung điểm của AC

Thực hành 1: Tìm độ dài đoạn thẳng NQ trong Hình 4

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{OPQ}=\widehat{OMN}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // PQ

Xét tam giác OPQ ta có: MN//PQ, M là trung điểm OP suy ra MN là đường trung bình tam giác OPQ

⇒ N là trung điểm OQ ⇒ NQ = ON = 4

Vận dụng 1: Trong Hình 5, chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: MN ⊥ AB, AC ⊥ AB nên MN // AC

Xét tam giác ABC có: MN // AC, M là trung điểm AB suy ra MN là đường trung bình tam giác ABC

2. Tính chất của đường trung bình

Khám phá 2: Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

a) Tính các tỉ số $\frac{AM}{AB},\frac{AN}{AC}$

b) Chứng minh MN // BC

c) Chứng minh $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì M là trung điểm AB suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$

Tương tự, $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

b) Xét tam giác ABC có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ theo định lí Thales đảo ta có: MN // BC

c) Xét tam giác ABC có MN // BC, áp dụng hệ quả định lí Thales, ta có:

$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$

Thực hành 2: Trong Hình 8, cho biết JK = 10 cm, DE = 6.5 cm, EL = 3.7 cm. Tính DJ, EF, DF, KL

Hướng dẫn trả lời:

D là trung điểm của JK suy ra $DJ=\frac{1}{2}JK=\frac{1}{2}.10=5$ (cm)

E là trung điểm của JL suy ra JL = 2EL = 2.3,7 = 7,4 (cm)

Trong tam giác JKL có D, E lần lượt là trung điểm của JK và JL suy ra DE là đường trung bình của tam giác JKL suy ra KL = 2DE = 2.6,5 = 13 (cm)

Tương tự, ta có: EF là đường trung bình của tam giác JKL suy ra $EF=\frac{1}{2}JK=\frac{1}{2}.10 = 5$ (cm)

DF là đường trung bình tam giác JKL suy ra $DF=\frac{1}{2}JL=\frac{1}{2}.7,4=3,7$ (cm)

Vận dụng 2: Hãy tính khoảng cách BC trong phần HĐKĐ (trang 52)

Hướng dẫn trả lời:

Theo kiến thức bài trước:

Xét tam giác ABC ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$ theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Suy ra $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$, vậy BC = 2DE = 90 (m)

Sau khi học xong bài này:

Ta có: D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $DE=\frac{1}{2}BC$ vậy BC = 2DE = 90 (m)

BÀI TẬP

Bài 1: Cho MN là đường trung bình của mỗi tam giác ABC trong Hình 9. Hãy tìm giá trị x trong mỗi hình

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2 MN suy ra x = 12

b) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN suy ra 2x + 3 = 14 suy ra $x=\frac{11}{2}$

c) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN suy ra 58 = 2(5x−1) ⇒ 58 = 10x−2 ⇒ x = 6

Bài 2: Tính độ dài đoạn PQ (Hình 10)

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có: AP = PB = 8cm; AQ = QC = 7 cm suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên$PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.9=4,5$ (cm)

Bài 3: Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1 cm. Tính độ dài các đoạn PQ, PR, RQ, AB, BC, CA trong Hình 11

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$

$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$

$BC=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$

Xét tam giác ABC có P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AC suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên $PQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$

Tương tự: $PR=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$

$RQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{10}=\sqrt{10}$

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC (Hình 12).

a) Tam giác FBA và tam giác FCK có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh EF // CD // AB

c) Chứng minh $EF=\sqrt{AB+CD}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác FBA và FCK ta có:

$\hat{F_{1}}=\hat{F_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)

FB = FC (gt)

$\widehat{FBA}=\widehat{FCK}$ (AB // CD, hai góc so le trong)

Suy ra ΔFBA = ΔFCK (g.c.g)

b) ΔFBA = ΔFCK suy ra FA = FK

Xét tam giác ADK có: EA = ED, FA = FK, suy ra EF là đường trng bình tam giác ABC nên EF // DK

Mà AB // CD suy ra EF//CD//AB

c) EF là đường trung bình tam giác ADK suy ra $EF=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}(CD+CK)$

Mà CK = BA (do ΔFBA=ΔFCK) nên $EF=\frac{AB+CD}{2}$

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC ta có:

M là trung điểm của AB (gt) ;

N là trung điểm của AC (gt) ;

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MN//BC

⇒ Tứ giác MNPH là hình thang.

Xét tam giác ABC ta có 

M là trung điểm của AB (gt) ;

P là trung điểm của BC

⇒ MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ $MP=\frac{1}{2}AC$

ΔACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC) ⇒ $NH=\frac{1}{2}AC$ Mà $MP=\frac{1}{2}AC$ (cmt)

⇒ NH = MP

Hình thang MNPH (MN//PH) có MP = NH nên là hình thang cân.

Bài 6: Một mái nhà được vẽ lại như Hình 13. Tính độ dài x trong hình mái nhà.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABH có: AD = BD, BE = EH suy ra DE là đường trung bình tam giác ABH nên  $DE=\frac{1}{2}AH \Rightarrow x=\frac{1}{2}.2,8=1,4$ (m)

Bài 7: Ảnh chụp từ Google Maps của một trường học được cho trong Hình 14. Hãy tính chiều dài cạnh DE, cho biết BC = 232 m và B, C lần lượt là trung điểm AD và AE

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ADE có: B, C lần lượt là trung điểm AD và AE nên BC là đường trung bình của tam giác ADE suy ra DE = 2BC = 2.232 = 464 (m)