Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

a) Ta có ΔMNP ᔕ ΔABC nên $\hat{N}=\hat{B}$

Xét tam giác vuông MNK và ABH có: 

$\hat{N}=\hat{B}$

Suy ra ΔMNK ᔕ ΔABH nên $\frac{MK}{AH}=\frac{MN}{AB}=k$

b) ΔMNP ᔕ ΔABC nên $\frac{NP}{BC}=\frac{MN}{AB}=k$

Ta có $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}MK.NP}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{MK}{AH}.\frac{NP}{BC}=k^{2}$

BÀI TẬP

Bài 1: Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 8.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác vuông TUV và MKN ta có: $\frac{UV}{KN}=\frac{TV}{MN}=\frac{2}{3}$ nên ΔTUV ᔕ ΔMKN

Xét tam giác vuông DEF và GHI ta có: $\frac{DE}{GH}=\frac{DF}{GI}=\frac{6}{5}$ nên ΔDEF ᔕ ΔGHI (c.g.c)

Tam giác PQR có $\hat{P}=90^{o}-48^{o}=42^{o}$

Xét tam giác vuông BAC và PQR ta có: $\hat{B}=\hat{P}-42^{o}$ nên ΔBAC ᔕ ΔPQR (g.g)

Bài 2: Quan sát hình 9

a) Chứng minh rằng ΔDEF ᔕ ΔHDF

b) Chứng minh $DF^{2}=FH.FE$

c) Biết EF = 15 cm, FH = 5,4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DF

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có: $\hat{E}$ chung

Vậy ΔDEF ᔕ ΔHDF (g.g)

b) Ta có ΔDEF ᔕ ΔHDF nên $\frac{DF}{FH}=\frac{FE}{DF}$ => $DF^{2}=FH.FE$

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: $DF^{2}=5,4.15$=> DF = 9 (cm)

Bài 3: Trong Hình 10, biết MB = 20m, MF = 2m, EF = 1,65 m. Tính chiều cao AB của ngọn tháp

Hướng dẫn trả lời:

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có: $\hat{M}$ chung

Suy ra ΔMEF ᔕ ΔMAB (g.g) nên $\frac{EF}{AB}=\frac{MF}{MB}$

=> $\frac{1,65}{AB}=\frac{2}{20}$ => AB = 16,5 (cm)

Bài 4: Trong Hình 11, cho biết $\hat{B}=\hat{C}$, BE = 25 cm, AB = 20 cm, DC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác vuông ABE và ACD có $\hat{B}=\hat{C}$

Suy ra ΔABE ᔕ ΔACD (g.g) nên $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$

=> $\frac{20}{AC}=\frac{25}{15}$ => AC = 12

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABE ta có: $BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}$

=> $AE+\sqrt{BE^{2}-AB^{2}}=15$

Vậy CE = AE - AC = 15 - 12 = 3

Bài 5: Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:

a) ΔABH ᔕ ΔDCB

b) $\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{BA}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có BH ⊥ AE, CJ ⊥ AE => BH // CJ => $\widehat{ABH}=\widehat{BCD}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác vuông ABH và DCB ta có: $\widehat{ABH}=\widehat{BCD}$

Suy ra ΔABH ᔕ ΔDCB (g.g) 

b) ΔABH ᔕ ΔDCB nên $\hat{A}=\widehat{BDC}$

Xét tam giác vuông DCB và AEB ta có: $\hat{A}=\widehat{BDC}$

Suy ra ΔDCB ᔕ ΔAEB (g.g) nên $\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{BA}$

Bài 6: Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5m

Hướng dẫn trả lời:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Ta có: A’C’ ⊥ A’B, AC ⊥ A’B, DE ⊥ A’B

⇒ A’C’ // AC // DE.

Ta có: ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC)

⇒ $\frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB}$

Mà AC = 3m; DE = 1,5 m nên $\frac{1,5}{3}=\frac{DB}{AB}$ ⇒ $\frac{DB}{AB}=\frac{1}{2}$⇒ $\frac{DB}{1}=\frac{AB}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{DB}{1}=\frac{AB}{2}=\frac{AB-BD}{2-1}=\frac{AD}{1}=1,2$

Suy ra $\frac{BD}{1}=1,2$ ⇒ DB =1,2

$\frac{AB}{2}=1,2$ ⇒ AB = 2,4

⇒ A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 m

+ ΔACB ᔕ ΔA’C’B (vì AC // A’C’)

⇒ $\frac{AB}{A'B}=\frac{AC}{A'C'}$

⇒ $A'C'=\frac{AC.A'B}{AB}=\frac{2.29,4}{2,4}=24,5$ (m)

Vậy tòa nhà cao 24,5m.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB

b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM . AB = AN . AC

c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC

d) Cho biết AB = 9cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác vuông AMH và AHB ta có: $\hat{A}$ chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên $\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}$ hay $AM.AB=AH^{2}$ (1)

Xét tam giác vuông ANH và AHC ta có: $\hat{A}$ chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên $frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}$ hay $AN.AC=AH^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Xét tam giác vuông AMN và ABC ta có:

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Suy ra ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ => BC = 15 (cm)

Ta có AH.BC = AB.AC => AH.15 = 9.12 => AH = 7,2 (cm)

Xét tứ giác AMHN có bốn góc vuông nên AMHN là hình chữ nhật, do đó AH = MN = 7,2 (cm)

Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{MN}{BC}=\frac{7,2}{15}=\frac{12}{25}$

Nên tỉ số diện tích của tam giác AMN và ABC là $k^{2}=\frac{144}{625}$

Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}AB.AC=54$ $cm^{2}$

Diện tích tam giác AMN là: $54.\frac{144}{625}=12,4416$ $cm^{2}$

Vậy diện tích tam giác AMN: 12,4416 $cm^{2}$