Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới Bài tập cuối chương 7

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho tam giác ABC, biết DE // BC và AE = 6 cm, EC = 3 cm, DB = 2 cm (Hình 1). Độ dài đoạn thẳng AD là

A. 4 cm

B. 3 cm

C. 5 cm

D. 3.5 cm

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có: DE//BC, theo định lí Thales ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ suy ra $\frac{x}{2}=\frac{6}{3}$, vậy  x= 4 (cm)

Đáp án: A

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết DE // BC (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

B. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

C. $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

D. $\frac{DB}{AB}=\frac{DE}{BC}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Bài 3: Cho Hình 3, biết AM = 3 cm, MN = 4 cm, AC = 9 cm. Giá trị của biểu thức x - y là:

A. 4

B. -3

C. 3

D. -4

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Tam giã AMN vuông tại M suy ra $AN=\sqrt{AM^{2}+MN^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

Theo hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}$

Suy ra $\frac{3}{9}=\frac{5}{y}=\frac{4}{x}$, vậy x = 12, y = 15

Do đó, x - y =12 - 15 = -3

Đáp án: B

Bài 4: Cho tam giác MNP có MD là tia phân giác của góc M (D ∈ NP). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\frac{DN}{MN}=\frac{DP}{MP}$

B. $\frac{DN}{MN}=\frac{MP}{DP}$

C. $\frac{DN}{MN}=\frac{MP}{DP}$

D. $\frac{MN}{MP}=\frac{DP}{DN}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Bài 5: Cho hai đoạn thẳng AB = 12 cm và CD = 18 cm. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{AB}{CD}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Đáp án: C

Bài 6: Cho Hình 4, biết MN // BC, AN = 4 cm. NC = 8 cm, MN = 5 cm. Độ dài cạnh BC là 

A. 10 cm

B. 20 cm

C. 15 cm

D. 16 cm

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có MN// BC, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ suy ra $\frac{4}{4+8}=\frac{5}{BC}$, vậy BC = 15 cm

Đáp án: C

Bài 7: Cho Hình 5, biết MN // DE, MN = 6 cm, MP = 3 cm, PE = 5 cm. Độ dài đoạn thẳng DE là 

A. 6 cm

B. 5 cm

C. 8 cm

D. 10 cm

Hướng dẫn trả lời:

Theo hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{MP}{PE}=\frac{MN}{DE}$ suy ra $\frac{3}{5}=\frac{6}{DE}$, vậy DE = 10 cm

Đáp án: D

Bài 8: Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB tại F. Biết AB = 25 cm, AF = 9 cm, EF = 12 cm, độ dài đoạn DC là

A. 25 cm

B. 20 cm

C. 15 cm

D. 12 cm

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có: DE // BC, theo định lí Thales ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

Tương tự, ta có: $\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$

Do đó, $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}$ suy ra $AD=\sqrt{AB.AF}=\sqrt{25.9}=15$

Xét tam giác ADC có EF // DC, theo hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{AF}{AD}=\frac{EF}{DC}$, suy ra $\frac{9}{15}=\frac{12}{DC}$, vậy DC = 20 cm

Đáp án: B

Bài 9: Cho tam giác biết AM là đường phân giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}$

B. $\frac{AB}{MC}=\frac{BM}{AC}$

C. $\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{AC}$

D. $\frac{BM}{MC}=\frac{AM}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 10: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5 cm, DB = 4,5 cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.

Ta có AB = AD + DB

⇒ AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)

Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có:

$\frac{DH}{BK}=\frac{AD}{AB}=\frac{13,5}{18}=\frac{3}{4}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là $\frac{3}{4}$

Bài 11: a) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN, BN trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tìm chiều cao AB của cái cây.

b) Một tòa nhà cao 24 m, đổ bóng nắng dài 36 m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6 m muốn đứng trong bóng râm của tòa nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}$ suy ra $\frac{AB}{1,5}=\frac{2,4+2,9}{2,4}$ vậy AB = 3,3 (m)

b) 

Ta có: $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{DC}$ suy ra $\frac{24}{1,6}=\frac{36}{DC}$ do đó DC = 2,4 (m)

Mà BD + DC = BC suy ra BD = BC - DC hay x = 36 - 2,4 = 33,6 (m)

Bài 12: Cho tam giác ABC có BC bằng 30 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (E,M ∈ AB; F,N ∈ AC)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC là 10,8 $dm^{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Vì MN // BC suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$ (theo hệ quả định lí Thales) (1)

Trong tam giác ABH có MK // BH suy ra $\frac{AK}{AH}=\frac{AM}{AB}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}$

Mà AK = KI = IH nên $\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}$ suy ra $\frac{MN}{CB}=\frac{1}{3}$

Do đó $MN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}.30=10$ (cm)

Tam giác ABC có EF // BC suy ra $\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}$

Do đó $EF=\frac{2}{3}.30=20$ (cm)

b) Đổi 10,8 $dm^{2}$ =1080 $cm^{2}$

MN // BC mà AH⊥BC nên AK⊥MN hay AK là đường cao của tam giác AMN

Ta có $AK=\frac{1}{3}AH$

$\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}$ suy ra $MN=\frac{1}{3}BC$

Suy ra $S_{AMN}=\frac{1}{2}AK.MN=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}AH.\frac{1}{3}BC=\frac{1}{9}.(\frac{1}{2}AH.BC)$

Hay $S_{AMN}=\frac{1}{9}S_{ABC}=120 cm^{2}$

Tương tự, ta có: $S_{AEF}=\frac{4}{9}S_{ABC}=480 cm^{2}$

Do đó $S_{MNEF}=S_{AEF}-S_{AMN}=360 cm^{2}$

Bài 13: Tính độ dài x trong Hình 8

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ suy ra $\frac{2}{4}=\frac{x}{7}$, vậy $x=\frac{7}{2}$

b) CA⊥BD, DE⊥BD nên AC // DE, suy ra $\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$ suy ra $\frac{3}{x}=\frac{5}{5+3,5}$, vậy x = 5,1

c) Xét tam giác HIK có PQ // IK, suy ra $\frac{HP}{HI}=\frac{HQ}{HK}$ suy ra $\frac{x}{8}=\frac{6,5}{6,5+3,5}$ vậy x = 5,2

Bài 14: Tính độ dài x trong Hình 9

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có AD là tia phân giác góc A nên ta có: $\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $\frac{x}{5}=\frac{4,5}{7,2}$ vậy x = 3,125

b) Xét tam giác MNP có MI là phân giác góc M nên ta có: $\frac{IN}{IP}=\frac{MN}{MP}$ suy ra $\frac{3}{x-3}=\frac{5}{8,5}$ suy ra 5x - 15 = 25,5 vậy x = 8,1

Bài 15: Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại O. Qua O, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại E

a) Chứng minh FE // BD

b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại G và đường thẳng song song với AD cắt CD tại H. Chứng minh rằng CG.DH = BG.CH

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có OE // BC (gt) suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{AO}{AC}$ (theo định lí Thales) (1)

Tam giác ADC có OF // CD (gt) suy ra $\frac{AO}{AC}=\frac{AF}{AD}$ (theo định lí Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AD}$

Tam giác ADB có $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{FD}$ suy ra EF // BD (theo định lý Thales đảo)

b) Tam giác ABC có OG // AB (gt) suy ra $\frac{CG}{BG}=\frac{CO}{AO}$ (theo định lí Thales) (3)

Tam giác ACD có OH // AD (gt) suy ra $\frac{CO}{AO}=\frac{CH}{DH}$ (theo định lí Thales) (4)

Từ (3) (4) suy ra $\frac{CG}{BG}=\frac{CH}{DH}$ suy ra CG.DH = BG.CH

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A cắt BD, BC, DC lần ượt tại E, K, G (Hình 10). Chứng minh rằng:

a) $AE^{2}=EK.EG$

b) $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên :

AD // BC hay AD // BK

AB // CD hay AB // DG

Áp dụng định lí Thales ta có:

AD // BK suy ra $\frac{AE}{EK}=\frac{ED}{EB}$ (1)

AB // DG suy ra $\frac{ED}{EB}=\frac{EG}{AE}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra $\frac{AE}{EK}=\frac{EG}{AE}$

Do đó $AE^{2}=EK.EG$

b) AB // DG suy ra $\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$

AD // BC suy ra $\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}$

Suy ra $\frac{AE}{AG}+\frac{AE}{AK}=\frac{BE}{BD}+\frac{DE}{BD}=\frac{BE+DE}{BD}=1$

Chia cả hai vế cho AE ta có: $\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}=\frac{1}{AE}$

Bài 17: a) Quan sát Hình 11, chứng minh AK là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC 

b) Dựa vào kết quả của câu a, hãy nêu cách vẽ đường phân giác của một góc trong tam giác bằng đường kẻ và êke

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABH có $\widehat{AHB}=90^{o}$ suy ra $\widehat{HAB}+\widehat{ABH}=90^{o}$ (1)

Lại có: $\widehat{HAK}=90^{o}$ suy ra $\widehat{HAB}+\widehat{BAK}=90^{o}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{BAK}$ (3) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HB // AK

Do đó $\widehat{KAC}=\widehat{BDA}$ (hai góc đồng vị)  (4)

Tam giác ABD có AD = AB suy ra tam giác ABD cân tại A nên $\widehat{BDA}=\widehat{ABH}$ (5)

Từ (3) (4) (5) suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{KAC}$ 

Vậy AK là phân giác góc $\widehat{BAC}$

b) 

Giả sử để vẽ tia phân giác giác của góc xOy ta làm như sau:

- Ox' là tia đối của tia Ox

- Trên Ox' và Oy lần lượt lấy H và K sao cho OH = OK, nối H với K

- Từ O kẻ tia Oz song song với HK

- Ta được Oz là tia phân giác góc xOy