Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0)
Giải bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0) sách toán 8 chân trời sáng tạo. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.
KHỞI ĐỘNG
Câu hỏi: Có một cái bể đã chứa sẵn 5 $m^{3}$ nước. Người ta bắt đầu mở một vòi nước cho chảy vào bể, mỗi giờ chảy được 2 $m^{3}$. Hãy tính:
a) Lượng nước chảy vào bể sau 1 giờ
b) Lượng nước chảy vào bể sau x giờ
c) Lượng nước y có trong bể sau x giờ
Hướng dẫn trả lời:
a) Lượng nước chảy vào bể sau 1 giờ: 2.1 = 2 $(m^{3})$
b) Lượng nước chảy vào bể sau x giờ: 2x $(m^{3})$
c) Lượng nước y có trong bể sau x giờ: y = 5 + 2x $(m^{3})$
1. Hàm số bậc nhất
Khám phá 1: Trong thực tế chúng ta thường gặp các mô hình hấp dẫn đến những hàm số có dạng như: y = 2x + 5; y = -x + 4; y = 5x; ...
Những hàm số này được gọi là hàm số bậc nhất. Vậy hàm số bậc nhất có dạng như thế nào?
Hướng dẫn trả lời:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b với a, b là các số cho trước và a≠0
Thực hành 1: Tìm các hàm số bậc nhất trong các hàm số sau đây và chỉ ra các hệ số a, b của các hàm số đó:
$y=4x-7;y=x^{2};y=-6x-4;y=4x;y=\frac{3}{x};s=v+8;m=30n-25$
Hướng dẫn trả lời:
Các hàm số bậc nhất là:
y = 4x - 7 với a = 4 và b = -7
y = -6x - 4 với a = -6 và b = -4
y = 4x với a = 4 và b = 0
s = 5v +8 với a = 5 và b = 8
m = 30n -25 với a = 30 và b = -25
Vận dụng 1: Một hình chữ nhật có các kích thước là 2 m và 3 m. Gọi y là chu vi của hình chữ nhật này sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thêm x (m). Hãy chứng tỏ y là một hàm số bậc nhất theo biến số x. Tìm các hệ số a, b của hàm số này.
Hướng dẫn trả lời:
Chiều dài sau khi tăng x m là: 3 + x
Chiều rộng sau khi tăng x m là: 2 + x
Chu vi hình chữ nhật sau khi chiều dài và chiều rộng tăng là: $y=(3+x+2+x).2=4x + 12$ (m)
Suy ra y là một hàm số bâc nhất theo biến số x với a = 4 và b = 12
2. Bảng giá trị của hàm số bậc nhất
Khám phá 2: Lượng nước y (tính theo $m^{3}$) có trong một bể nước sau x giờ mở vòi cấp nước được cho bởi hàm số y = 2x + 3. Tính lượng nước có trong bể sau 0 giờ; 1 giờ; 2 giờ; 3 giờ; 10 giờ và hoàn thành bảng giá trị sau:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 |
| y = f(x) = 2x + 3 | ? | ? | ? | ? | ? |
Hướng dẫn trả lời:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 |
| y = f(x) = 2x + 3 | 3 | 5 | 7 | 9 | 23 |
Thực hành 2: Lập bảng giá trị của mỗi hàm số bậc nhất sau:
y = f(x) = 4x - 1 và y = h(x) = -0.5x + 8
với x lần lượt bằng - 3; -2; -1; 0; 1; 2 ; 3. Trong mỗi bảng vừa lập , khi x tăng thì y tăng hay giảm
Hướng dẫn trả lời:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = 4x - 1 | -13 | -9 | -5 | -1 | 3 | 7 | 11 |
Khi x tăng thì y tăng
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = -0.5x + 8 | 9.5 | 9 | 8.5 | 8 | 7.5 | 7 | 6.5 |
Khi x tăng thì y giảm
Vận dụng 2: Một xe khách khởi hành từ bến xe phía Bắc bưu điện thành phố Nha Trang để đi ra thành phố Đà Nẵng với tốc độ 40 km/h (Hình 2)
a) Biết rằng bến xe cách bưu điện thành phố Nha Trang 6 km. Sau x giờ, xe khách cách bưu điện thành phố y km. Tính y theo x
b) Chứng minh rằng y là một hàm số bậc nhất theo biến số x
c) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số ở câu b) và giải thích ý nghĩa của bảng giá trị này:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | ? | ? | ? | ? |
Hướng dẫn trả lời:
a) Quãng đường đi được sau x giờ là : 40x (km)
Vậy sau x giờ, xe khách cách bưu điện thành phố là : y = 40x + 6 (km)
b) Vì y có dạng y = ax + b và a≠0 nên y là hàm số bậc nhất theo biến số x
c)
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 6 | 46 | 86 | 126 |
Ý nghĩa:
- Tại điểm khởi hành, xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 6 km
- sau khi đi được 1 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 46 km
- Sau khi đi được 2 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 86 km
- Sau khi đi được 3 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 126 km
3. Đồ thị của hàm số bậc nhất
Khám phá 3: Hùng mua x mét dây điện và phải trả số tiền là y nghìn đồng. Giá trị tương ứng giữa a và y được cho bởi bảng sau:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 4 | 8 | 12 | 16 |
Hùng vẽ các điểm M(1;4), N(2;8), P(3;12), Q(4;16) trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 3
Hãy dùng thước thẳng để kiểm tra các điểm O, M, N, P, Q có thẳng hàng không.
Hướng dẫn trả lời:
Dùng thước kiểm tra ta thấy, O, M, N ,P, Q thẳng hàng
Thực hành 3:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số: y = 0.5x; y = -3x; y = x
b) Các đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?
Hướng dẫn trả lời:
a) - Đồ thị y = 0.5x
Cho x = 2 ta có y = 1. Ta vẽ điểm A (2;1)
Đồ thị hàm số y = 0.5x là đường thẳng đi qua các điểm O(0;0) và A(2;1)
- Đồ thị y = -3x
Cho x = 1 ta có y = -3. Ta vẽ điểm B (1;-3)
Đồ thị hàm số y = -3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0;0) và A(1;-3)
- Đồ thị y = x
Cho x = 2 ta có y = 2. Ta vẽ điểm C (2;2)
Đồ thị hàm số y = x là đường thẳng đi qua các điểm O(0;0) và C(2;2)
b) - Đồ thị Hình 6a) đi qua A(1;2) và O(0;0) suy ra đây là đồ thị hàm số y = 2x
- Đồ thị Hình 6b) đi qua B(-2;2) và O(0;0) suy ra đây là đồ thị của hàm số y = -x
- Đồ thị Hình 6c) đi qua C(2;-1) và O(0;0) suy ra đây là đồ thị của hàm số y = -0.5x
Khám phá 4: Cho hai hàm số y = f(x) = x và y = g(x) = x + 3
a) Thay dấu ? bằng số thích hợp
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = f(x) = x | ? | ? | ? | ? | ? |
| y = g(x) =x + 3 | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biều diễn các điểm có tọa độ thỏa mãn hàm số y = g(x) có trong bảng trên.
c) Kiểm tra xem các điểm thuộc đồ thị hàm số y = g(x) vẽ ở câu b có thẳng hàng không? Và có quan hệ như thế nào với đồ thị hàm số y = f(x)?
Hướng dẫn trả lời:
a)
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = f(x) = x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = g(x) =x + 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
b) Đồ thị hàm số y = (f) đi qua điểm O(0;0) và điểm có tọa độ (-2;-2)
c) Các điểm thuộc đồ thị hàm số y = g(x) thẳng hàng với nhau và đồ thị hàm số y = g(x) song song với đồ thị hàm sô y = f(x)
Thực hành 4: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 5x + 2
b) y = -2x - 6
Hướng dẫn trả lời:
a) Với đồ thị hàm số y = 5x + 2
Cho x = 0 thì y = 2
Cho y = 0 thì x = -0.4
Đồ thị của hàm số y = 5x +2 là đường thẳng đi qua hai điểm M(0;2) và N(-0.4;0)
b) Với đồ thị hàm số y = -2x - 6
Cho x = 0 thì y = -6
Cho y = 0 thì x = -3
Đồ thị của hàm số y = -2x - 6 là đường thẳng đi qua hai điểm P(0;-6) và Q(-3;0)
Vận dụng 3: Một lò xo có chiều dài ban đầu khi chưa treo vật nặng là 10 cm. Cho biết khi treo thêm lò xo một vật nặng 1 kg thì chiều dài lò xo tăng thêm 3 cm.
a) Tính chiều dài y (cm) của lò xo theo khối lượng x (kg) của vật
b) Vẽ đồ thị của hàm số y theo biến số x
Hướng dẫn trả lời:
a) y = 3x + 10 (cm)
b) Với đồ thị hàm số y = 3x +10
Cho x = -3 thì y = 1
Cho x = -2 thì y = 4
Đồ thị hàm số y = 3x +10 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-3;1) và B(-2;4)
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các hàm số bậc nhất trong các hàm số sau đây và xác định các hệ số a, b của chúng
a) y = 4x + 2
b) y = 5 - 3x
c) $y=2+x^{2}$
d) y = -0.2x
e) $y=\sqrt{5}x-1$
a) y = 4x + 2 là hàm số bậc nhất với a = 4, b = 2
b) y = 5 - 3x là hàm số bậc nhất với a = -3 , b = 5
c) $y=2+x^{2}$ không là hàm số bậc nhất
d) y = -0.2x là hàm số bậc nhất với a = -0.2, b = 0
e) $y=\sqrt{5}x-1$ là hàm số bậc nhất với $a=-\sqrt{5}, b = -1$
Bài 2: Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau đây là hàm số bậc nhất?
a) y = (m - 1)x + m
b) y = 3 - 2mx
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện để hàm số y = (m - 1)x + m là hàm số bậc nhất là m−1 ≠ 0 suy ra m ≠ 1
b) Điều kiện để hàm số y = 3 - 2mx là hàm số bậc nhất là −2m ≠ 0 suy ra m ≠ 0
Bài 3:
a) Vẽ đồ thị các hàm số sau đây trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = x; y = x +2; y = -x; y = -x + 2
b) Bốn đồ thị nói trên cắt nhau tại các điểm O(0;0), A, B, C. Tứ giác có 4 đỉnh O, A, B, C là hình gì? Giải thích.
Hướng dẫn trả lời:
a) Với hàm số y = x, cho x = 1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = x đi qua các điểm O(0;0) và C(1;1)
Với hàm số y = x+2, cho x = 0 thì y = 2, cho x = -1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = x +2 đi qua các điểm B(0;2) và A(-1;1)
Với hàm số y = -x, cho x = -1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = -x đi qua các điểm O(0;0) và A(-1;1)
Với hàm số y = -x +2, cho x =0 thì y = 2, cho x = 1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = -x +2 đi qua các điểm B (0;2) và C(1;1)
b) Ta có: Đường thắng y = x song song với đường thẳng y = x +2 suy ra OC // AB
Đường thẳng y = -x song song với đường thẳng y = -x +2 suy ra OA // BC
Tứ giác OABC có: OC // AB, OA // BC và OB⊥AC suy ra OABC là hình thoi
Bài 4: Để đổi nhiệt độ từ F (Fehrenheit) sang độ (Celsius), ta dùng công thức $C=\frac{5}{9}(F-32)$
a) C có phải hàm số bậc nhất theo biến số F không?
b) Hãy tính C khi F = 32 và tính F khi C = 100
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $C=\frac{5}{9}(F-32)$⇔$C=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}$(*)
Hàm số $C=\frac{5}{9}(F-32)$ theo biến số F) có dạng y = ax + b với $a=\frac{5}{9} \neq 0, b =\frac{-160}{9}$ nên $C=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}$ là hàm số bậc nhất theo biến số F.
b) Khi F = 32, thế vào (*) ⇒ $C=\frac{5}{9}.32-\frac{160}{9}=0 (^{o}C)$
Khi C = 100, thế vào (*) $\Rightarrow 100=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}\Leftrightarrow F=212$
Bài 5: Gọi C và r lần lượt là chu vi và bán kính của một đường tròn. Hãy chứng tỏ C là một hàm số bậc nhất theo biến số r. Tìm hệ số a, b của hàm số này.
Hướng dẫn trả lời:
Công thức tính chu vi hình tròn là: C = 2πr
Hàm số C = 2πr có dạng y = ax + b với a = 2π ≠ 0 và b = 0 nên C là một hàm số bậc nhất theo biến số r
Bài 6: Một người đi bộ trên đường thẳng với tốc độ v (km/h). Gọi s (km) là quãng đường đi được trong t (giờ)
a) Lập công thức tính s theo t
b) vẽ đồ thị của hàm số s theo biến số t khi v = 4
Hướng dẫn trả lời:
a) s = vt
b) Hàm số: s = 4t
Đồ thị hàm số s = 4t là đường thẳng đi qua 2 điểm O(0; 0); $A(\frac{1}{2};2)$