Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Đường phân giác AD của tam giác ABC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn tỉ lệ với hai đoạn thẳng nào trong hình?

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Khám phá 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt đường thẳng AC tại E (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) tam giác BAE cân tại A

b) $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: BE // AD suy ra $\widehat{AEB}=\widehat{CAD}$ (hai góc đồng vị), $\widehat{ABE}=\widehat{BAD}$ (hai góc so le trong)

AD là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

Do đó: $\widehat{AEB}=\widehat{ABE}$ suy ra tam giác BAE cân tại A

b) Xét tam giác BCE có AD // BE, theo định lí Thales ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}$

Mà AE = AB (do tam giác ABE cân tại A)

Do đó: $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$

2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác

Thực hành: Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác MPQ , ta có MN là đường phân giác góc M, suy ra $\frac{NP}{NQ}=\frac{MP}{MQ}$ nên $\frac{4}{5}=\frac{7}{MQ}$

Suy ra $MQ=\frac{7.5}{4}=8,75$

BÀI TẬP

Bài 1: Tính độ dài x trong Hình 7

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác ABC , ta có AD là đường phân giác góc A, suy ra $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}$ nên $\frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

Suy ra $x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong tam giác EFG , ta có EH là đường phân giác góc E, suy ra $\frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}$ nên $\frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

Suy ra 12x = 18(20 − x) ⇒ $x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong tam giác PQR , ta có RS là đường phân giác góc R, suy ra $\frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}$ nên $\frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

Suy ra $x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC

b) Tính tỉ số diện tích giữa ΔADB và ΔADC

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác

⇒ $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

⇒ $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

Nên $\frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$DB=\frac{40}{7},BC=\frac{30}{7}$

b) Vẽ AH⊥BC tại H

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác góc BAC

Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên $\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: $\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}$

Nên: $DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}$ cm

Do đó, $DC=BC-BD=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}$ (cm)

Xét tam giác ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{DE}{AB}=\frac{CM}{BC}$ suy ra $\frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$, vậy $DE=\frac{60}{7}$ cm

b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm, nên $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150 (cm^{2})$

c) Kẻ AH⊥BC ta có:

$\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{75}{7}}{25}=\frac{3}{7}$

Suy ra $S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7} (cm^{2})$

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=(\frac{DE}{AB})^{2}=(\frac{\frac{60}{7}}{25})^{2}=\frac{144}{1225}$

Suy ra $S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49} (cm^{2})$