Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 1: Hai tam giác đồng dạng

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Còn hai tam giác có ba góc bằng nhau thì có bằng nhau không

Hướng dẫn trả lời:

Hai tam giác bằng nhau thì có ba cặp góc bằng nhau, còn hai tam giác có ba góc bằng nhau thì chưa chắc bằng nhau

1. Tam giác đồng dạng

Khám phá 1: Nêu nhận xét về hình dạng và kích thước của từng cặp hình: Hình 1a và Hình 1b, Hình 1c và Hình 1d, Hình 1e và Hình 1g

Hướng dẫn trả lời:

Các cặp hình có hình dạng giống nhau nhưng khác về kích thước

Khám phá 2: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' như Hình 2

a) Hãy viết các cặp góc bằng nhau

b) Tính và so sánh các tỉ số A′B′AB;A′C′AC;B′C′BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Các cặp góc bằng nhau: $\hat{A}=\hat{A'},\hat{B}=\hat{B'},\hat{C}=\hat{C'}$

b) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$\frac{A'C'}{AC}=\frac{7,5}{5}=\frac{3}{2}$

$\frac{B'C'}{BC}=\frac{9}{6}$

Vậy $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$

Khám phá 2: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' như Hình 2

a) Hãy viết các cặp góc bằng nhau

b) Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A'B'}{AB};\frac{A'C'}{AC};\frac{B'C'}{BC}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Các cặp góc bằng nhau: $\hat{A}=\hat{A'};\hat{B}=\hat{B'};\hat{C}=\hat{C'}$

b) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$\frac{A'C'}{AC}=\frac{7,5}{5}=\frac{3}{2}$

$\frac{B'C'}{BC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Vậy $\frac{A'B'}{AB};\frac{A'C'}{AC};\frac{B'C'}{BC}$

Thực hành 1: Quan sát Hình 3, cho biết ΔAMN ᔕ ΔABC

a) Hãy viết tỉ số của các cạnh tương ứng và tính tỉ số đồng dạng

b) Tính $\widehat{AMN}$

Hướng dẫn trả lời:

a) ΔAMN ᔕ ΔABC ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

b) ΔAMN ᔕ ΔABC suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=65^{o}$

2. Tính chất

Khám phá 3: a) Nếu ΔA′B′C′ = ΔABC thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

b) Cho ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số k thì ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ theo tỉ số nào? 

Hướng dẫn trả lời: 

a) ΔA′B′C′ = ΔABC suy ra $\hat{A}=\hat{A'},\hat{B}=\hat{B'},\hat{C}=\hat{C'},\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=1$

Do đó ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k = 1

b) ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số k nên $\frac{A'B'}{AB}=k$ suy ra $\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{k}$, do đó ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ theo tỉ số $\frac{1}{k}$

Thực hành 2: Quan sát Hình 4, cho biết ΔADE ᔕ ΔAMN, ΔAMN ᔕ ΔABC, DE là đường trung bình của tam giác AMN, MN là đường trung bình của tam giác ABC. Tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: ΔADE ᔕ ΔAMN, ΔAMN ᔕ ΔABC suy ra ΔADE ᔕ ΔABC

ΔADE ᔕ ΔAMN theo tỉ số $\frac{AD}{AM}=\frac{1}{2}$ (vì DE là đường trung bình tam giác AMN)

ΔAMN ᔕ ΔABC theo tỉ số $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$ (vì MN là đường trung bình tam giác ABC)

ΔADE ᔕ ΔABC theo tỉ số $\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AM}{2AM}=\frac{1}{4}$ vì MN là đường trung bình tam giác ABC)

Vậy tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{4}$

3. Định lí

Khám phá 4: Quan sát Hình 5, biết MN // BC. Hãy điền vào ? cho thích hợp

ΔAMN và ΔABC

$\hat{A}$ chung

$\hat{M}=?$

$\hat{N}=?$

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{?}{?}$

Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác AMN và tam giác ABC.

Hướng dẫn trả lời:

ΔAMN và ΔABC

$\hat{A}$ chung

$\hat{M}=\hat{B}$

$\hat{N}=\hat{C}$

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Nhận xét: ΔAMN ᔕ ΔABC

Thực hành 3: Quan sát Hình 8, cho biết DC // MP, EF // MQ

a) Chứng minh rằng ΔEPF ᔕ ΔDCQ

b) ΔICF có đồng dạng ΔMPQ không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có DC // MP nên ΔDCQ ᔕ ΔMPQ

Ta có EF // MQ nên ΔEPF ᔕ ΔMPQ

Do đó ΔEPF ᔕ ΔDCQ

b) Ta có IF // DQ nên ΔICF ᔕ ΔDCQ

Do đó ΔICF ᔕ ΔMPQ

Vận dụng: Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình bình hành

a) Chứng minh rằng ΔIEB ᔕ ΔIDA

b) Cho biết CB = 3BE và AI = 9 cm. Tính độ dài DC

Hướng dẫn trả lời:

a) ABCD là hình bình hành suy ra BE // AD

Do đó ΔIEB ᔕ ΔIDA

b) ΔIEB ᔕ ΔIDA suy ra $\frac{IB}{IA}=\frac{IE}{ID}$

Ta có IB // CD nên ΔIEB ᔕ ΔDEC 

Do đó $\frac{IB}{DC}=\frac{IE}{DE}=\frac{EB}{EC}=\frac{1}{4}$ nên $\frac{IE}{ID}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\frac{IB}{IA}=\frac{1}{3}$ ⇒ IB = 3 ⇒ AB = IA + IB = 12

Ta có DC = AB = 12 cm

Vậy DC = 12 cm

BÀI TẬP

Bài 1: Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau

b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau

Hướng dẫn trả lời:

a) Đúng. Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1

b) Sai. Hai tam giác đồng dạng có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau theo tỉ số k. Hai tam giác đó bằng nhau khi và chỉ khi k = 1

Bài 2: Cho tam giác ABC, hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Trên cạnh AB lấy B' là trung điểm của AB

Qua B' kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại C'

Ta có: B'C' // BC nên ΔAB′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{AB'}{AB}=\frac{1}{2}$

Bài 3: 

a) Trong Hình 11, cho biết ΔABC ᔕ ΔA′B′C′. Viết tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng và chỉ ra các cặp góc tương ứng.

b) Trong Hình 12, cho biết ΔDEF ᔕ ΔD′E′F′. Tính số đo $\hat{D}$ và $\hat{F'}$

c) Trong Hình 13, cho biết ΔMNP ᔕ ΔM′N′P′. Tính độ dài các đoạn thẳng MN và M'P'

Hướng dẫn trả lời:

a) ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên ta có:

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$

$\hat{A}=\hat{A'}$

$\hat{B}=\hat{B'}$

b) ΔDEF ᔕ ΔD′E′F′ nên ta có:

$\hat{D'}=\hat{D}=78^{o}$

$\hat{F'}=\hat{F}=180^{o}-(78^{o}+57^{o})=45^{o}$

c) ΔMNP ᔕ ΔM′N′P′ nên ta có

$\frac{MN}{M'N'}=\frac{NP}{N'P'}=\frac{MP}{M'P'}=\frac{1}{2}$

Suy ra $MN=\frac{15}{2},M'P'=20$

Bài 4: Trong Hình 14, cho biết AB // CD.

a) Chứng minh rằng ΔAEBᔕΔDEC

b) Tìm x

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có AB // CD nên $\hat{A}=\hat{D},\hat{B}=\hat{C}$ (cặp góc so le trong)

Lại có $\widehat{AEB}=\widehat{CED}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ΔAEB ᔕ ΔDEC

b) ΔAEB ᔕ ΔDEC nên $\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DC}$

=> $\frac{x-2}{10}=\frac{3}{5}$ => x = 8

Bài 5: Cho ΔABC ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{2}{5}$

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 36 cm, tính chu vi của mỗi tam giác

Hướng dẫn trả lời:

a) ΔABC ᔕ ΔDEF nên $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{2}{5}$

Chu vi tam giác ABC: $P_{ABC}=AB+BC+AC=\frac{2}{5}(DE+EF+DF)$

Chu vi tam giác DEF: $P_{DEF}=DE+EF+DF$

Tỉ số chu vi của hai tam giác

$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\frac{\frac{2}{5}(DE+EF+DF)}{DE+EF+DF}=\frac{2}{5}$

b) Ta có: $\left\{\begin{matrix}\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\frac{2}{5}\\P_{DEF}-P_{ABC}=36\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}P_{ABC}=24 cm\\P_{DEF}=60cm\end{matrix}\right.$

Bài 6: Người ta ứng dụng hai tam giác đồng dạng để đo khoảng cách BC ở hai địa điểm không thể đến được (Hình 15). Biết DE // BC

a) Chứng minh rằng ΔADE ᔕ ΔABC

b) Tính khoảng cách BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có DE // BC nên ΔADE ᔕ ΔABC

b) ΔADE ᔕ ΔABC nên $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$

=> $\frac{22}{BC}=\frac{16}{30}$ => $BC=\frac{165}{4}$ (m)