Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 2: Các trường hơp đồng dạng của hai tam giác

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của hai tam giác?

Hướng dẫn trả lời:

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

KHám phá 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có các kích thước như Hình 1. Trên cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = 2 cm, AN = 3 cm

a) So sánh các tỉ số A′B′AB,A′C′AC,B′C′BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng MN

c) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các tam giác ABC, AMN và A'B'C'

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{3}$

b) Tam giác ABC có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$ theo định lí Ta- lét đảo suy ra MN // BC

Nên ΔAMN ᔕ ΔABC => $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$ => MN = 4

c) Xét tam giác AMN và A'B'C' có

MN = B'C' = 4

AM = A'B' = 2

AN = A'C' = 3

Suy ra ΔAMN = ΔA′B′C′ (c.c.c)

Nhận xét: ΔAMN = ΔA′B′C′, ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC và ΔAMN ᔕ ΔABC

Thực hành 1: Tìm trong Hình 4 các cặp tam giác đồng dạng

Hướng dẫn trả lời:

Hình b) và c) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau: $\frac{14}{7}=\frac{6}{3}=2$

Hình a) và c) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau: $\frac{21}{7}=\frac{25}{8\frac{1}{3}}=\frac{9}{3}=3$

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

Khám phá 2: Cho tam giác DEF và ABC có $DE=\frac{1}{3}AB, DF=\frac{1}{3}AC,\hat{D}=\hat{A}$ (Hình 5). Trên tia AB, lấy điểm M sao cho AM = DE. Qua M kẻ MN // BC (N ∈ AC)

a) So sánh các tỉ số $\frac{AM}{AB}$ và $\frac{AN}{AC}$

b) So sánh AN và DF

c) Tam giác AMN có đồng dạng với tam giác ABC không?

d) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác DEF và ABC

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Ta - lét ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

b) Ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{3}; AM=DF$ suy ra AN = DF

c) Tam giác ABC có MN cắt AB, AC lần lượt tại M và N và MN // BC nên ΔAMN ᔕ ΔABC

d) Xét tam giác DEF và AMN có:

$\hat{D}=\hat{A}$

DE = AM (gt)

DF = AN (cmt)

Suy ra ΔDEF = ΔAMN

Dự đoán: ΔDEF ᔕ ΔABC

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

Khám phá 3: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có $\hat{A}=\hat{A'},\hat{C}=\hat{C'}$ (Hình 9)

Trên cạnh AC, Lấy điểm D sao cho DC = A'C'. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại E.

a) Tam giác DEC có đồng dạng với tam giác ABC không?

b) Nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác A'B'C' và tam giác DEC

c) Dự đoán về sự đồng dạng của hai tam giác A'B'C' và ABC

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có DE // AB nên ΔDEC ᔕ ΔABC

b) ΔDEC ᔕ ΔABC, do đó $\hat{D}=\hat{A}$

Xét tam giác A'B'C' và DEC có:

$\hat{A'}=\hat{D}$ (cùng = $\hat{A}$)

A'C' = DC (gt)

$\hat{C'}=\hat{C}$ (gt)

Suy ra ΔA′B′C′ = ΔDEC (g.c.g)

c) Dự đoán: ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC

Thực hành 3: Quan sát Hình 12.

a) Chứng minh rằng ΔABC ᔕ ΔA′B′C′

b) Tính độ dài B'C'

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC có: $\hat{C}=180^{o}-(\hat{A}+\hat{B})=41^{o}$

Xét tam giác ABC và A'B'C' có:

$\hat{A}=\hat{A'}=79^{o}$

$\hat{C}=\hat{C'}$

Suy ra ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ (g.g)

b) ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên $\frac{AB}{A'B}=\frac{BC}{B'C'}$

=> $\frac{4}{6}=\frac{6}{B'C'}$ => B'C' = 9

Vận dụng 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 6m, CD = 15 m, OD = 8 m (Hình 13). Tính độ dài đoạn thẳng OB

Hướng dẫn trả lời: