Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 1: Định lí Thales trong tam giác

a) Ta có BB' // CC', AC và A'C' cắt BB' và CC' suy ra ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$

Vậy hai đoạn thẳng AB và BC tỉ lệ với A'B' và B'C'

b) Ta có BB' // CC', AC và A'C' cắt BB' và CC' suy ra ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}$ suy ra $\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$

Vậy hai đọan thẳng AC và A'C' tỉ lệ với AB và A'B'

Vận dụng 1: Hãy tìm các đoạn thẳng tỉ lệ trong hình vẽ sơ đồ một góc công viên ở Hình 4.

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$

$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}$

$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$

2. Định lí Thales trong tam giác

Khám phá 3: Trên một tờ giấy kẻ caro có các đường kẻ ngang song song và cách đều nhau.

a) Vẽ một đường thẳng d cắt các đường kẻ ngang của tờ giấy như trong Hình 5a. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ và QE

b) Vẽ một tam giác ABC rồi vẽ một đường thẳng song song với cạnh BC và cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại B' và C'. Trên cạnh AB, lấy đoạn AI làm đơn vị đo tính tỉ số AB' và B'B; trên cạnh AC, lấy đoạn AJ làm đơn vị đo tính tỉ số AC' và C'C (Hình 5b)

So sánh các tỉ số $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$; $\frac{AB'}{B'B}$ và $\frac{AC'}{C'C}$; $\frac{B'B}{AB}$ và $\frac{C'C}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

a) độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ và QE bằng nhau

b) $\frac{AB'}{AB}=\frac{5AI}{7AI}=\frac{5}{7}$

$\frac{AC'}{AC}=\frac{5AJ}{7AJ}=\frac{5}{7}$

Suy ra $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$

$\frac{AB'}{B'B}=\frac{5AI}{2AI}=\frac{5}{2}$

$\frac{AC'}{C'C}=\frac{5AJ}{2AJ}=\frac{5}{2}$

Suy ra $\frac{AB'}{B'B}=\frac{AC'}{C'C}$

$\frac{B'B}{AB}=\frac{2AI}{7AI}=\frac{2}{7}$

$\frac{C'C}{AC}=\frac{2AJ}{7AJ}=\frac{2}{7}$

Suy ra $\frac{B'B}{AB}=\frac{C'C}{AC}$

Thực hành 3: Tính độ dài x, y trong Hình 8

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có d//BC, nên thao định lí Thales ta có:

$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}$ suy ra $\frac{x}{2}=\frac{3}{1,5}$, vậy x = 4

b) $MP=\sqrt{MN^{2}+NP^{2}}=\sqrt{(5,5+2,5)^{2}+6^{2}}=10$

Xét tam giác MNP có RS⊥MN,NP⊥MN suy ra RS//NP, áp dụng định lí Thales ta có:

$\frac{MR}{MN}=\frac{MS}{MP}$ suy ra $\frac{5,5}{5,5+2,5}=\frac{y}{10}$, vậy y = 6,875

Khám phá 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8 cm và BC = 10 cm. Lấy điểm B' trên AB sao cho AB' = 2 cm. Qua B' vẽ đường thẳng sóng song với BC và cắt AC tại C'.

a) Tính AC'

b) Qua C' vẽ đường thẳng song song với AB và cắt BC tại D. Tính BD, B'C'

c) Tính và so sánh các tỉ số: $\frac{AB'}{AB},\frac{AC'}{AC}$ và $\frac{B'C'}{BC}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có B'C' // BC, nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$ suy ra $\frac{2}{6}=\frac{AC'}{8}$, vậy $AC'=\frac{8}{3}$

b) Xét tam giác ABC có C'D // AB, nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{BD}{BC}=\frac{AC'}{AC}$ suy ra $\frac{BD}{10}=\frac{\frac{8}{3}}{8}$, vậy $BD=\frac{10}{3}$

Xét tứ giác B'C'DB ta có: B'C'//BD, B'B // C'D nên B'C'DB là hình bình hành suy ra $B'C'=BD=\frac{10}{3}$

c) $\frac{AB'}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\frac{AC'}{AC}=\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$

$\frac{B'C'}{BC}=\frac{\frac{10}{3}}{10}=\frac{1}{3}$

Vậy $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$

Thực hành 4: Tìm độ dài x trên Hình 13.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác OAB có CD // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{CD}{AB}=\frac{OD}{OB}$ suy ra $\frac{x}{7,8}=\frac{3,6}{3,6+1,8}$, vậy x =5,2

Vận dụng 2: Với số liệu đo đạc được ghi trên Hình 14, hãy tính bề rộng CD của con kênh.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ACD có: BE // CD, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$ suy ra $\frac{CD}{3}=\frac{8+8}{8}$, vậy CD = 6

Bề rộng CD của con kênh là 6m

Khám phá 5: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 15 cm. Trên AB, AC lần lượt lấy B', C' sao cho AB' = 2 cm, AC' = 5 cm

a) Tính các tỉ số $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$

b) Qua B' vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Tính AE

c) So sánh AE và AC'

d) Hãy nhận xét về vị trí của E và C', vị trí của hai đường thẳng B'C' và B'E

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{AB'}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\frac{AC'}{AC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

b) Xét tam giác BC có: B'E // BC , theo định lí Thales ta có:

$\frac{AB'}{AB}=\frac{AE}{AC}$ suy ra $\frac{1}{3}=\frac{AE}{15}$, vậy AE = 5 cm

c) AE = AC' = 5 cm

d) Vì E và C' cùng thuộc AC và AE = AC' suy ra E và C' trùng nhau, B'C' và B'E trùng nhau

Thực hành 5: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong mỗi hình dưới đây.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$ và $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, suy ra $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

Theo định lí Thales đảo trong tam giác ABC, ta có: MN // BC

b) Ta có: $\frac{OA'}{A'A}=\frac{2}{3}$ và $\frac{OB'}{B'B}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{OA'}{A'A}=\frac{OB'}{B'B}$

Theo định lí Thales đảo trong tam giác ABC, ta có: A'B' // AB

$\widehat{B''A''O}=\widehat{OA'B'}$ mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra A''B'' // AB'

Vận dụng 3: Đo chiều cao AB của một tòa nhà bằng hai cây cọc FE, DK, một sợi dây và một thước cuộn như sau:

- Đặt cọc FE cố định, di chuyển cọc DK sao cho nhìn thấy K, F, A thẳng hàng.

- Căng thẳng dây FC đi qua K và cắt mặt đất tại C.

- Đo khoảng cách BC và DC trên mặt đất

Cho biết DK = 1 m, BC = 24 m, DC = 1.2 m. Tính chiều cao AB của tòa nhà

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có: AB⊥BC, DK⊥AB suy ra DK // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{AB}{DK}=\frac{BC}{DC}$ suy ra $\frac{AB}{1}=\frac{24}{1,2}$, vậy AB = 20

Chiều cao AB của tòa nhà là 20m

BÀI TẬP

Bài 1: a) Hãy đo chiều dài và chiều rộng cái bàn học của em và tính tỉ số giữa hai kích thước này

b) Quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi từ Mỹ Tho là 70 km, quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Cà Mau là 350 km. Tính tỉ số giữa hai quãng đường này.

c) Cho biết $\frac{AB}{CD}=\frac{3}{5}$ và AB = 6 cm. Hãy tính CD

Hướng dẫn trả lời:

a) Học sinh thực hành đo bàn học của mình và tính toán.

Ví dụ: Đo được chiều dài: 85 cm; chiều rộng: 35 cm

Tỉ số giữa hai kích thước này: $\frac{CD}{CR}=\frac{85}{35}=\frac{17}{7}$

b) Tỉ số giữa hai quãng đường  từ Thành phố Hồ Chí Minh đi từ Mỹ Tho và quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Cà Mau là: $\frac{70}{350}=\frac{1}{5}$

c) $\frac{AB}{CD}=\frac{3}{5}$ suy ra $\frac{6}{35}=\frac{3}{5}$, vậy CD = 10

Bài 2: Tìm x trong Hình 20

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ suy ra $\frac{x}{2}=\frac{4,5}{3}$, vậy x = 3

b) Xét tam giác CDE có AB // DE, theo định lí Thales ta có:

$\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}$ suy ra $\frac{3}{3+6}=\frac{2,4}{x}$, vậy x = 7,2

c) Xét tam giác MNP có DE⊥MP;MN⊥MP suy ra DE// MN, theo định lí Thales ta có:

$\frac{PM}{DM}=\frac{PN}{EN}$ suy ra $\frac{5}{x}=\frac{3,9+2,6}{2,6}$, vậy x = 2

Bài 3: Với số liệu được ghi trên HÌnh 21. Hãy tính khoẳng cách CD từ con tàu đến trạm quan tắc đặt tại điểm C

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{ACD}=\widehat{ABE}$ mà hai góc ở vị trí đồng vị nên CD // BE

Theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$ suy ra $\frac{CD}{120}=\frac{400+200}{200}$, vậy CD = 360

Khoảng cách từ con tàu đến trạm quan trắc là 360m

Bài 4: Quan sát Hình 22, chứng minh rằng MN // BC

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{3,6}{2,4}=\frac{3}{2};\frac{AN}{NC}=\frac{4,5}{3}=\frac{3}{2}$

Suy ra: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

Theo định lí Thales đảo, ta có: MN // BC

Bài 5: Tính các độ dài x, y trong Hình 23

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác ABC có: HK // BC, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{HK}{BC}=\frac{AK}{KC}$ suy ra $\frac{x}{6}=\frac{3}{3+1,5}$, vậy x = 4

b) Xét tam giác MNH có: PQ // NH, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{MQ}{MH}=\frac{PQ}{NH}$ suy ra $\frac{x}{x+1,8}=\frac{3,8}{6,4}$ vậy $x=\frac{171}{65}$

c) Ta có:  DE // AB (cùng ⊥AD), theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{DE}{AB}$ 

Suy ra $\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{8^{2}+6^{2}}}{y}=\frac{8}{x}$ Vậy $x=\frac{20}{3},y=\frac{25}{3}$

Bài 6: Quan sát Hình 24, chỉ ra các cặp đường thẳng song song và chứng minh điều ấy.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{MI}{IN}=\frac{MJ}{JP}=1$, theo định lí Thales đảo ta có: IJ//NP

Tương tự, ta có: $\frac{MJ}{JP}=\frac{NK}{KP}$ suy ra JK // MN; $\frac{MI}{IN}=\frac{KP}{NK}$ suy ra IK //MP

b) Ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{5},\frac{AN}{NC}=\frac{3}{7,5}=\frac{2}{5}$, nên AMMB=ANNC theo định lí Thales đảo ta có: MN // BC

Tương tự, ta có: ANNC=BPPC suy ra NP // AB

Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC

Hướng dẵn trả lời:

ABCD là hình thang suy ra AB // CD, áp dụng hệ quả định lí Theles ta có:

$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ suy ra OA.OD = OB.OC

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với AB cắt AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q

Chứng minh rằng MN = PQ.

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: $\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}$ (Hệ quả định lí Thales )   (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: $\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}$ (Hệ quả định lí Thales )  (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: $\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}$ (Định lí Thales )  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}$ hay MN = PQ.

Bài 9: Quan sát Hình 25 và chứng minh $x=\frac{ah}{a'-a}$

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có BC⊥AB′, B′C′⊥AB′ suy ra BC// B'C', theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{AB}{AB'}=\frac{BC}{BC'}$ suy ra $\frac{x}{x+h}=\frac{a}{a'}$

$\Rightarrow  a'x=a(x+h) \Rightarrow a'x-ax=ah \Rightarrow  x(a'-a)=ah \Rightarrow  x=\frac{ah}{a'-a}$