Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Quan sát hình bên. Biết rằng cân thăng bằng, có thể tìm được khối lượng quả cân x g không? Tìm bằng cách nào?

Hướng dẫn trả lời:

Do cân thăng bằng nên tổng khối lượng các vật trên hai đĩa cân bằng nhau, từ đo ta nhận được 

4x = 600 +x 

Từ đó suy ra x = 200

1. Phương trình một ẩn

Khám phá 1: 

a) Ở HĐKP trên, viết các biểu thức biểu thị tổng khối lượng của các vật trên mỗi đĩa cân. Từ điều kiện cân thăng bằng, hai biểu thức có mỗi quan hệ như thế nào?

b) Nếu x = 200 thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Nếu x = 100 thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4x

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + x

Với điều kiện cân thăng bằng thì 4x = 600 + x

b) Nếu x = 200:

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4 x 200 = 800

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + 200 = 800

Tổng khối lượng của các vật trên hai đĩa cân bằng nhau nên cân thăng bằng

Nếu x = 100:

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4 x 100 = 400

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + 100 = 700

700 > 400 nên tổng khối lượng của các vật trên hai đĩa cân không bằng nhau. Vì vậy, cân không thăng bằng

Thực hành 1: Cho phương trình 4x - 3 = 12 - x. Trong hai số 3 và 5, có số nào là nghiệm của phương trình đã cho không?

Hướng dẫn trả lời:

Khi x = 3, hai vế của phương trình có giá trị bằng nhau đều bằng 9, nên x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.

Khi x = 5, ta có 4x - 3 = 17; 12 - x = 7, giá trị của hai vế không bằng nhau nên x = 5 không là nghiệm của phương trình đã cho

Vận dụng 1: Đặt lên hai đĩa những quả cân như Hình 1.

a) Biết rằng cân thăng bằng, hãy viết phương trình biểu thị sự thăng bằng này.

b) Nếu x = 100 thì cân có thăng bằng không? Vì sao?

Nếu x = 150 thì cân có thăng bằng không? Vì sao?

Từ đó, chỉ ra một nghiệm của phương trình ở câu a

Hướng dẫn trả lời:

a) Do cân thăng bằng nên tổng khối lượng các vật trên hai đĩa cân bằng nhau, từ đó ta nhận được:

3x + 100 = 400 + x

b) Nếu x = 100, ta có 3x+100 = 400 ≠ 400+x = 500 nên cân không thăng bằng

Nếu x = 150, hai vế của phương trình trên có giá trị bằng nhau, đều bằng 550. Vì vậy nên cân thăng bằng

Suy ra, x = 150 là nghiệm của phương trình trên

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Khám phá 2: Xét cân thăng bằng ở HĐKĐ

a) Giải thích tại sao nếu ra khỏi đĩa cân một quả cân x g thì cân vẫn thăng bằng.

b) Nếu thay quả cân 600g bằng ba quả cân 200g (Hình 2) thì cân còn cân bằng không? Tại sao?

c) Tiếp theo, chia các quả cân trên mỗi đĩa cân thành ba phần bằng nhau, rồi bỏ đi hai phần (Hình 3). Khi đó, cân còn cân bằng không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

Ở HĐKP ta có phương trình: 4x = 600 + x

a) Bỏ ra khỏi mỗi đĩa một quả cân x g, phương trình được biến đổi như sau:

4x - x = 600 + x - x hay 3x = 600

Vì ở cả hai vế đều bị bớt đi một lượng giống nhau nên giá trị ở cả hai đĩa cân vẫn bằng nhau và  cân vẫn thăng bằng

b) Vì quả cân 600g gấp 3 lần quả cân 200g nên nếu thay quả cân 600g bằng ba quả cân 200g thì cân vẫn cân bằng

c) Từ HĐKP1 ta được x = 200 là nghiệm của phương trình

Khi chia các quả cân trên mỗi đĩa cân thành ba phần bằng nhau, rồi bỏ đi hai phần ta được khối lượng các vật còn lại trên hai đĩa là:

- đĩa bên trái:  3x : 3 =x

- đãi bên phải: 600 : 3 = 200

Mà x = 200 nên cân vẫn thăng bằng

Thực hành 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{3}x+1\frac{1}{2}=0$

b) $2\frac{1}{2}-0,75x=0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{2}{3}x+1\frac{1}{2}=0$

$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}$

$x=-\frac{3}{2}:\frac{2}{3}$

$x=-\frac{9}{4}$

b) $2\frac{1}{2}-0,75x=0$

$-0,75x=-\frac{5}{2}$

$x=(-\frac{5}{2}):(-0,75)$

$x=\frac{10}{3}$

Thực hành 3: Giải các phương trình sau:

a) 15 - 4x = x - 5

b) $\frac{5x+2}{4}+\frac{3x-2}{3}=\frac{3}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) 15 - 4x = x - 5

-4x - x = -5 - 15

-5x = -20

x = (-20) : (-5)

x = 4

b) $\frac{5x+2}{4}+\frac{3x-2}{3}=\frac{3}{2}$

$\frac{3(5x+2)}{12}+\frac{4(3x-2)}{12}=\frac{18}{12}$

15x + 6 + 12x - 8 = 18

27x = 20

$x=\frac{20}{27}$

Vận dụng 2: Hai bạn An và Mai giải phương trình x = 2x như sau:

An: x = 2x

       1 = 2 (chia hai vế cho x )

Vậy phương trình vô nghiệm

Mai: x = 2x

 x - 2x = 0 (chuyển 2x sang vế trái)

       -x = 0 (rút gọn)

        x = 0 (nhân hai vế với  -1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Em hãy cho biết bạn nào giải đúng.

Hướng dẫn trả lời:

Bạn Mai giải đúng.

Vì chỉ có thể chia hai vế cho x khi biết trước x ≠ 0

BÀI TẬP

Bài 1: Trong Hình 4, cho biết các viên bi có cùng khối lượng là x (g) và cân thăng bằng. Viết phương trình biểu diễn liên hệ giữa khối lượng các vật ở trên hai đĩa cân.

Hướng dẫn trả lời:

Vì cân thăng bằng nên ta có phương trình:

450 + 5x = 700

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? Xác định các hệ số a, b của phương trình bậc nhất một ẩn đó

a) $7x+\frac{4}{7}=0$

b) $\frac{3}{2}y-5=4$

c) 0t + 6 = 0

d) $x^{2}+3=0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $7x+\frac{4}{7}=0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với a =7 và $b=\frac{4}{7}$

b) $\frac{3}{2}y-5=4$ là phương trình bậc nhất một ẩn với $a=\frac{3}{2}$ và b = -9

c) 0t + 6 = 0 không là phương trình bậc nhất một ẩn

d) $x^{2}+3=0$ không là phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 5x - 30 = 0

b) 4 - 3x = 11

c) 3x + x + 20 = 0

d) $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=x+2$

Hướng dẫn trả lời:

a) 5x - 30 = 0

5x = 30

x = 30 : 5

x = 6

b) 4 - 3x = 11

-3x = 11 - 4

-3x = 9

x = 9 : (-3)

x = -3

c) 3x + x + 20 = 0

4x = -20

x = -20 : 4

x = -5

d) $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=x+2$

$\frac{1}{3}X-x=2-\frac{1}{2}$

$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$

$x=\frac{3}{2}:(-\frac{2}{3})$

$x=-\frac{9}{4}$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 8 - (x - 15) = 2(3 - 2x)

b) -6(1.5 -2u) = 3(-15 + 2u)

c) $(x+3)^{2}-x(x+4)=13$

d) $(y+5)(y-5)-(y-2)^{2}=-5$

Hướng dẫn trả lời:

a) 8 - (x - 15) = 2(3 - 2x)

8 - x + 15 = 6 - 4x

-x + 4x = 6 - 15 - 8

3x = -17

$x=-\frac{17}{3}$

b) -6(1.5 -2u) = 3(-15 + 2u)

-9 + 12u = -45 + 6u

12u - 6u = -45 + 9

6u = -36

u = -6

c) $(x+3)^{2}-x(x+4)=13$

$x^{2}+6x+9-x^{2}-4x=13$

6x - 4x = 13 - 9

2x = 4

x = 2

d) $(y+5)(y-5)-(y-2)^{2}=-5$

$y^{2}-25-y^{2}+4y-4=-5$

4y = -5 + 4 + 25

4y = 24

y = 6

Bài 5: Giải các phương trình sau:

$\frac{3(x+3)}{15}-\frac{10x}{15}=\frac{3}{10}$

$3x+9-10=\frac{9}{2}$

$-7x=-\frac{9}{2}$

$x=\frac{9}{14}$

Bài 6: Tìm x, biết rằng nếu lấy x trừ đi $\frac{1}{2}$, rồi nhân kết quả với $\frac{1}{2}$ thì được $\frac{1}{8}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có phương trình:

$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})=\frac{1}{8}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}:\frac{1}{2}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

$x=\frac{3}{4}$