Tải giáo án Powerpoint Toán 10 CTST bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY
KHỞI ĐỘNG
Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.
CHƯƠNG IV:
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI 3: GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
NỘI DUNG
Giải tam giác
Áp dụng giải bài toán vào thực tế
Luyện tập
Giải tam giác
ĐỊNH NGHĨA
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
* Để giải tam giác ta thường sử dụng các định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.
Ví dụ 1 (SGK - 74)
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) AB=85, AC=95, A ̂=40°;
b) AB=15, AC=25, BC=30.
Trả lời:
Đặt a=BC, b=AC,c=AB.
Áp dụng định lí côsin, ta có:
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA=95^2+85^2-2.95.85.cos40°≈3878,38.
Suy ra a≈√3878,38≈62,3.
Suy ra a≈√3878,38≈62,3.
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac≈(〖62,3〗^2+85^2-95^2)/2.62,3.85≈0,197.
Suy ra B ̂≈78°38^', C ̂≈180°-40°-78°38^'=61°22^'.
Ví dụ 1 (SGK - 74)
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) AB=85, AC=95, A ̂=40°;
b) AB=15, AC=25, BC=30.
Trả lời:
Đặt a=BC, b=AC,c=AB.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin, ta có:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc≈(25^2+15^2-30^2)/2.25.15=(-1)/15
⇒A ̂≈93^o 49'
Áp dụng định lí sin, ta có:
a/sinA=b/sinB
⇒30/(sin93^o 49')=25/sinB "  "⇒sinB≈0,8315
Suy ra B ̂≈56°15^', C ̂≈180°-93°49'-56°15^'=29°56^'.
THỰC HÀNH
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) a=17,4 ; B ̂=44°30'; B ̂=64°;
b) a=10, b=6, c=8.
Trả lời:
a) Ta có: A ̂ = 180° - B ̂ - C ̂
= 180° - 44°30’ - 64° = 71°30’
Áp dụng định lí sin, ta có:
a/sinA = b/sinB = c/sinC
⟹ b = (a.sinB)/sinA = (17,4.sin44°30')/(sin71°30') ≈ 12,9
c = (a.sinC)/sinA = (17,4.sin64°)/(sin71°30') ≈ 16,5
b,Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:
cosA = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (6^2+8^2-10^2)/2.6.8 = 0
Áp dụng định lí sin, ta có:
a/sinA = b/sinB
⟹ sinB = (b.sinA)/a = (6.sin90°)/10 = 3/5
⟹ B ̂ = 36°52’
⟹ C ̂ = 180° - 90° - 36°52’ = 53°8’
2. Áp dụng giải bài toán vào thực tế
Ví dụ 2 (SGK - 75)
Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều dài qua đường hầm, mọt kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình 1. Tính chiều dài của đường hầm từ các số liệu đã khảo sát được.
Trả lời:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
AB^2=BC^2+AC^2-2.BC.AC.cos⁡C
=338^2+212^2-2.338.212.cos82,4°
≈173 730
Suy ra AB≈√173730≈417 (m).
Vậy đường hầm dài khoảng 417 m.
Ví dụ 3 (SGK - 75)
Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng (RQA) ̂=84°, người đó lùi ra xa một khoảng cách LM=49,4m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng (RPA) ̂=78°. Tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của các giác kế đó là PL=QM=1,2m.
Giải thích: Góc nâng là góc tạo bởi tia ngắm
nhìn lên và đường nằm ngang.
Trả lời:
Ta có: (PAQ) ̂=(AQR) ̂-(APR) ̂=84°-78°=6°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:
AQ/sinP=PQ/sinA
⇒AQ/(sin78^o )=PQ/(sin6^o )⇒AQ=(PQ.sin78^o)/(sin6^o )
Trong tam giác vuông AQR, ta có:
AR=AQ.sin84^o=(PQ.sin78^o.sin84^o)/(sin6^o )=(49,4.sin78^o.sin84^o)/(sin6^o )≈460"  "(m)
Vậy chiều cao của tòa nhà là:
├ AO="AR" +RO≈460+1,2=461,2" " (m)
Ví dụ 4 (SGK - 76)
Hai trạm quan sát ở hai thành phố Đà Nẵng và Nha Trang đồng thời nhìn thấy một vệ tinh với góc nâng lần lượt là 75 và 60. Vệ tinh cách trạm quan sát tại thành phố Đà Nẵng bao nhiêu ki lô mét? Biết rằng khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 520 km.
Trả lời:
Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn vị trí của thành phố Đà Nẵng, Nha Trang và vệ tinh.
Ta có C ̂=180°-(60°+75°)=45°
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
AC=(AB.sinB)/sinC=(520.sin60°)/(sin45°)
≈673 (km)
Ví dụ 5 (SGK - 76)
Hãy giải bài toán nêu ra trong hoạt động khởi động của bài
Trả lời:
Gọi vị trí của người đứng đo đạc là điểm A và gọi B,C lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông.
Ta có tam giác ABC với AC=100m; AB=75m và A ̂=32°.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2 = AC2 + AB2 - 2AC. AB cosA
=1002 +752 - 2.100. 75 cos32°≈2904,3
Suy ra BC≈√2904,3≈53,9 (m).
Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng 53,9 m.
VẬN DỤNG 1
Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với vận tốc 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25° về phía tây với tốc độ 630 km/h. Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Đổi 90’ = 1,5h
Quãng đường máy bay thứ nhất bay được sau 90 phút là: OA = 450. 1,5 = 675 (km)
Quãng đường máy bay thứ hai bay được sau 90 phút là: OB = 630. 1,5 = 945 (km)
Ta có: (AOB) ̂ = 90° - 25° = 65°
VẬN DỤNG 1
Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với vận tốc 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25° về phía tây với tốc độ 630 km/h. Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Trả lời:
Áp dụng định lí côsin, ta có:
AB2 = OA2 + OB2 - 2. OA. OB. cos(AOB) ̂
= 6752 + 9452 - 2. 675. 945. cos65°
≈ 809494,75
⟹ AB ≈ 889,7 (km)
Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.
VẬN DỤNG 2
Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên hình, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Trả lời:
Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:
cos(CHL) ̂ = (〖HC〗^2+ 〖HL〗^2-〖CL〗^2)/(2. HC.HL) = (78^2+ 104^2-49^2)/(2. 78.104) ≈ 0,89
⟹ (CHL) ̂ = 26°39’
cos(LHR) ̂ = (〖HL〗^2+ 〖HR〗^2-〖RL〗^2)/(2. HL.HR) = (104^2+ 77^2-56^2)/2.104.77 ≈ 0,85
⟹ (LHR) ̂ = 31°49’
Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên hình, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Trả lời:
⟹ (CHR) ̂ = (CHL) ̂ + (LHR) ̂ ≈ 26°39’ + 31°49’ = 58°28’
Áp dụng định lí côsin, ta có:
CR2 = HC2 + HR2 - 2HC. HR. cos(CHR) ̂
= 782 + 772 - 78. 77. cos58°28’ ≈ 5730,79
⟹ CR ≈ 75,7 (km)
3. Luyện tập
Bài 1 (SGK - 77)
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a)" " AB=14,AC=23,(A" " ) ̂=125^o;
b)" " BC=22,(B" " ) ̂=64^o,(C" " ) ̂=38^o;
c)" " AC=22,(B" " ) ̂=120^o,(C" " ) ̂=28^o;
d)AB=23,AC=32,BC=44.
Trả lời:
a) Áp dụng định lí côsin, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2. AB. AC. cosA
= 142 + 233 - 2. 14. 23.cos125° ≈ 1 094,38
⟹ BC ≈ 33,08.
Áp dụng định lí sin, ta có:
BC/sinA=AC/sinB⇔33,08/(sin125^∘ )=23/sinB ", "
"Suy ra " sinB≈0,57", suy ra " B ̂≈34^∘ 45^' ". "
Vì A ̂+B ̂+C ̂=180^∘, suy ra C ̂≈20^∘ 15^'.
Bài 1 (SGK - 77)
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
b)" " BC=22,(B" " ) ̂=64^o,(C" " ) ̂=38^o;
Trả lời:
Có A ̂=180^∘-B ̂-C ̂=180^∘-64^∘-38^∘=78^∘ ". "
Áp dụng định lí sin, ta có:
BC/sinA=AC/sinB= AB/sinC ⇔ 22/(sin78°)=AC/(sin64°)= AB/(sin38°)
Suy ra AB ≈ 13,85; AC ≈ 20,22.