Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hướng dẫn giải Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm SBT Toán 11 tập 2 Cánh diều. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Cánh diều" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho y=f(x) có đạo hàm tại $x_{0}$ là f′($x_{0}$). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)+f(x_{0})}{x+x_{0}}$

B. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

C. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x+x_{0}}$

D. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)+f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Hướng dẫn trả lời:

Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t,Q=Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng $|t-t_{0}|$được xác định bởi công thức $ \frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$. Cường độ tức thời tại thời điểm $t_{0}$ là:

A. $ \frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

B. $ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

C. $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q'(t)-Q'(t_{0})}{t-t_{0}}$

D. $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

Hướng dẫn trả lời:

Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là: $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

Chọn đáp án D.

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là:

A. f($x_{0}$).

B. f′($x_{0}$).

C. $x_{0}$.

D. −f′($x_{0}$).

Hướng dẫn trả lời:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm P($x_{0};f(x_{0})$) là đường thẳng đi qua P với hệ số góc k=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k=f′($x_{0}$)

Đáp án B.

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là:

A. $y=f(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$. 

B. $y=f′(x_{0})(x+x_{0})+f(x_{0})$.

C. $y=f′(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

D. $y=f′(x_{0})(x-x_{0})-f(x_{0})$.

Hướng dẫn trả lời:

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P($x_{0};y_{0}$) là $y=f′(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

Đáp án C.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm $t_{0}$ là:

A. $f′(t_{0})$.

B. $f(t_{0})-f′(t_{0})$.

C. $f(t_{0})$.

D. $-f′(t_{0})$.

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm $t_{0}$ là: $v(t_{0})=f′(t_{0})$.

Đáp án A.

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x)=x+2;

b) $g(x)=4x^{2}-1$;

c) h(x)=$ \frac{1}{x-1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại $x_{0}\in \mathbb{R}$ tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy = f($x_{0}$+Δx) − f($x_{0}$)=$x_{0}$ + Δx + 2 − $x_{0}$ −2=Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1$

⇒f′(x)=1

b) Tại $x_{0} \in \mathbb{R}$ tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy = g($x_{0}$ + Δx) − g($x_{0}$) = 4($x_{0}$ + Δx)$^{2}$ − 1 − 4$x_{0}^{2}$ + 1 = 8$x_{0}$.Δx+(Δx)$^{2}$

⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ =8$x_{0}$ + Δx ⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} $(8$x_{0}$+Δx)=8$x_{0}$.

⇒g′(x)=8x

c) Tại $x_{0}\in \mathbb{R}$∖{1}, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=h($x_{0}$+Δx)−h($x_{0}$)=$ \frac{1}{x_{0}+\Delta x-1}-\frac{1}{x_{0}-1}=\frac{-\Delta x}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}$

⇒$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-1}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}=\frac{-1}{(x_{0}-1)^{2}}$

⇒h′(x)=−$ \frac{-1}{(x_{0}-1)^{2}}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Chứng minh rằng hàm số f(x)=|x−2|không có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x≠2.
Hướng dẫn trả lời:

* Xét x>2⇒f(x)=|x−2|=x−2.

Tại $x_{0}$∈(2;+∞) tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=$x_{0}$+Δx+2−$x_{0}$−2=Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1$

⇒f′(x)=1

* Xét x<2⇒f(x)=|x−2|=2−x.

Tại $x_{0}$∈(−∞;−2) tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=2−($x_{0}$+Δx)+$x_{0}$−2=−Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\Delta x}{\Delta x}=-1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-1=-1$

⇒f′(x)=−1

* Xét tại x=2, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$=2.

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1\neq \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-1=-1$

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x=2.

Bài 8 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$x^{3}$ có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng −1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Hướng dẫn trả lời:

Tại $x_{0}$∈R tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=($x_{0}+Δx)$^{3}$−$x_{0}^{3}$=3$x_{0}^{2}$.Δx+3$x_{0}$(Δx)$^{2}$+(Δx)$$^{3}$

⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3x_{0}^{2}.\Delta x+3x_{0}(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}$ =$3x_{0}^{2}$+3$x_{0}$.Δx+(Δx)$^{2}$

⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}3x_{0}^{2}+3x_{0}(\Delta x)+(\Delta x)^{2}=3x_{0}^{2}$.

⇒f′(x)=$3x^{2}$

a) Gọi M($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng −1.

⇒$x_{0}$=−1;$y_{0}$=−1 ⇒M(−1;−1)

 ⇒f′(−1)=3(−1)$^{2}$=3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;−1) là:

y=f′(−1)(x−(−1))+f(−1)⇔y=3(x+1)−1⇔y=3x+2.

b) Gọi N($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng 8.

⇒$y_{0}$=8⇒$x_{0}$=2⇒N(2;8)

 ⇒f′(2)=3.(2)$^{2}$=12

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N(2;8) là:

y=f′(2)(x−2)+f(2) ⇔ y=12(x−2)+8 ⇔ y=12x−16.

Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 CD tập 2: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là s(t)=$ \frac{1}{2}gt^{2}$ trong đó g=9,8m/s$^{2}$.

a) Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=3 (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng 39,2(m/s).

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi Δt là số gia của biến số tại thời điểm t.

$ \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{a(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\frac{(t+\Delta t)^{2}-t^{2}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g(2t+\Delta t)$

Vận tốc tức thời của vật v(t)=s′(t)=$ \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}(\frac{1}{2}g(2t+\Delta t))$ =gt.

Suy ra  vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=3 (s):

v(3)=9,8.3=29,4(m/s).

b) Vận tốc tức thời của vật bằng 39,2(m/s).

⇒gt=39,2⇒t=$ \frac{39,2}{g}=\frac{39,2}{9,8}$=4(s).

Vậy vận tốc tức thời của vật bằng 39,2(m/s) tại thời điểm t=4 (s).

Tìm kiếm google: Giải sách bài tập Toán học 11 Cánh diều, Giải SBT Toán học 11 tập 2 Cánh diều, Giải sách bài tập Toán học 11 Cánh diều tập 2 C7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Xem thêm các môn học

Giải SBT toán 11 tập 2 cánh diều

CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC


Copyright @2024 - Designed by baivan.net